劲度系数与弹性体的材料、形状等因素有关，不同劲度系数的弹簧用途也不同（图 3-19）。生活中常说弹簧的“软”和“硬”，指的是弹簧劲度系数的不同，劲度系数越大则表明弹簧越“硬”。

（a）火车底部的防震弹簧

（b）圆珠笔里的复位弹簧

图 3-19　不同劲度系数的弹簧有不同的用途

例 题

如图3-20所示，一根轻弹簧长度由原来的5.00 cm伸长为6.00 cm 时，手受到的弹力为10.0 N。那么，当这根弹簧伸长到6.20 cm时（在弹性限度内），手受到的弹力有多大？

（a）

（b）

图3-20　不同拉力作用下的弹簧

（c）

分析

根据胡克定律，已知弹簧弹力 \(F _ { 1 }\) 和相应的伸长量 \(l _ { 1 } - l _ { 0 }\) ，可求出该弹簧的劲度系数。由于同一弹簧的劲度系数不变，再由已知的弹簧伸长量 \(l _ { 2 } - l _ { 0 }\) ，就可求出手受到的弹力 \(F _ { 2 \odot }\)

解

由题意可知， \(l _ { 0 } = 5 . 0 0 \ \mathrm { c m } = 5 . 0 0 \times 1 0 ^ { - 2 } \ \mathrm { m } , \ F _ { 1 } = 1 0 . 0 \ \mathrm { N } , \ l _ { 1 } = 6 . 0 0 \ \mathrm { c m } = 6 . 0 0 \times 1 0 ^ { - 2 } \ \mathrm { m }\) 。

根据胡克定律，可得

$$ F _ {1} = k x _ {1} = k \left(l _ {1} - l _ {0}\right)

$$

$$ \begin{array}{r l} k & = \frac {F _ {1}}{l _ {1} - l _ {0}} \ & = \frac {1 0 . 0 \mathrm{N}}{(6 . 0 0 - 5 . 0 0) \times 1 0 ^ {- 2} \mathrm{m}} \ & = 1. 0 0 \times 1 0 ^ {3} \mathrm{N/m} \end{array}

$$

当弹力为 \(F _ { 2 }\) 时，弹簧伸长到 \(l _ { 2 } = 6 . 2 0 \mathrm { c m } = 6 . 2 0 \times 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { m }\) 。根据胡克定律，可得

$$ \begin{array}{r l} F _ {2} & = k x _ {2} = k (l _ {2} - l _ {0}) \ & = 1. 0 0 \times 1 0 ^ {3} \mathrm{N/m} \times (6. 2 0 - 5. 0 0) \times 1 0 ^ {- 2} \mathrm{m} \ & = 1 2. 0 \mathrm{N} \end{array}

$$

所以，当这根弹簧伸长到 6.20 cm 时，手受到的弹力为12.0 N。

讨论

在题目中，弹簧的伸长量变大，弹力就会变大。那么，将弹簧拉得很长甚至完全拉直，还能运用胡克定律计算吗？为什么？

迁 移

弹簧弹力随其形变量变化的规律，还可用图像来表示。一轻弹簧的弹力F大小与弹簧长度l的关系如图3-21所示。

（1）求该弹簧的原长和劲度系数。

（2）图像中左边图线能否延长至与纵轴相交？请说明理由。

科学书屋

策略提炼

胡克定律中的 x是弹簧形变量，即弹簧受外力拉伸（压缩）后的长度与弹簧原长的差值。

尼龙扣

在求解弹簧弹力与形变的问题时，通常忽略弹簧质量，题目常表述为轻弹簧。轻弹簧是一种理想模型。

图3-21 F 与l的关系图像

尼龙扣（图 3-22）被广泛用于生产生活中。人们的衣服、鞋子、挎包等都会用到尼龙扣。航天飞机上的物品如盘子、食品袋等的固定，也都需要使用尼龙扣。启，以方便固定物品。

只要在弹性限度内，对于同一根弹簧，无论其形变量有多大，劲度系数不变。

图3-22　尼龙扣的显微照片

节 练 习

1.请参考教科书内容撰写“探究弹簧弹力的大小与伸长量的关系”的实验报告。

2.足球运动深受青少年喜爱，如图为四种与足球有关的情境。下列说法正确的是

（a）

（b）

第2题

（c）

（d）

A.图（a）中，静止在草地上的足球受到的弹力就是它的重力B.图（b）中，静止在光滑水平地面上的两个足球相互间由于接触而C.图（c）中，踩在脚下且静止在地上的足球可能受到三个力的作用D.图（d）中，打到球网上的足球受到弹力是因为足球发生了形变

3.关于弹力的方向，下列说法正确的是B.压力方向总是垂直于接触面并指向被压的物体C.细绳对物体的拉力的方向总是沿着绳并指向绳收缩的方向D.弹力的方向总是与形变的方向一致

1. 在“探究弹簧弹力的大小与伸长量的关系”的实验中，得到如图所示的图像。试根据此图像求出该弹簧的原长及劲度系数。

第4题

1. 在一次蹦极中，质量为 50 kg 的蹦极者运动到最低点时弹性绳绳长为 42 m，停止振荡时弹性绳绳长为 24 m。若该蹦极者所用弹性绳的原长为 18 m，劲度系数认为不变，取重力加速度\(g = 1 0 \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) 。求蹦极者运动到最低点时受到弹性绳的拉力。

6.画出下列各物体所受弹力的示意图。

（1）图（a）中杆AB 斜靠在半球体上静止，作出AB杆所受弹力的示意图。

（2）图（b）中用绳子将球挂在墙壁上，作出球所受弹力的示意图。

示意图。

（a）

（b）

第 6 题

（c）

1. 自制一个测力计，测算所用弹性体的劲度系数。若要制作量程较大的测力计，该如何选择弹性体？请说明理由。

第3节

摩擦力

在生活中，摩擦力无处不在。用橡皮擦去铅笔字，用双手接住篮球，自行车刹车等，都与摩擦力有关。没有摩擦力，我们将寸步难行。那么，摩擦力有哪些特点呢？本节将学习与摩擦力相关的内容。

1.滑动摩擦力

当两个物体彼此接触和挤压，并发生相对滑动时，在接触面上就会产生阻碍相对滑动的力，这种力称为滑动摩擦力（sliding frictional force）。滑动摩擦力的方向总是与接触面相切，并与物体相对运动的方向相反（图3-23）。

图3-23 物体A 相对物体B 运动所受的滑动摩擦力

首先让我们感受一下滑动摩擦力。

迷你实验室

图3-24　感受滑动摩擦力

感受滑动摩擦力

把手掌压在桌面或其他物体的表面（图 3-24），在大小不同的压力下向前平移手掌。通过比较，感受滑动摩擦力的大小与哪些因素有关。

下面，我们一起探究滑动摩擦力大小与物体间压力大小的关系。

实验与探究

滑动摩擦力大小与物体间压力大小的关系

如图 3-25 所示，弹簧测力计一端固定于P 点，另一端系一细线，与物体 A 水平连接。拉动木板 B，当物体 A 稳定时，A、B 间的滑动摩擦力 f 的大小等于弹簧测力计的示数。在物体 A 上添加砝码，改变 A 对 B 的压力 N，测出对应的 f。记录各次的 N、f 值，相应填入表 3-2中，并研究N与f的关系。

图3-25　实验装置示意图

表3-2

滑动摩擦力大小随压力大小变化的数据

实验次数n	1	2	3	4	5
压力N/N
滑动摩擦力f/N
\frac{f}{N}

实验结果表明，随着压力N的增大，滑动摩擦力f的大小 ，但 \(\textstyle { \frac { f } { N } }\) 的大小 。这说明滑动摩擦力f的大小与压力N 的大小

改变水平木板的粗糙程度，重复上述实验，结果如何？请继续探究。

大量实验研究表明：滑动摩擦力f的大小与压力N的大小成正比，即

$$ f = \mu N

$$

式中的比例系数 \(\mu\) 称为动摩擦因数（dynamic friction factor）。它是两个力的比值，没有单位。μ 的数值与相互接触的两物体的材料及接触面的情况（如粗糙、干湿程度等）有关。一些材料间的动摩擦因数见表 3-3。

表3-3

一些材料间的动摩擦因数

材料	钢与冰	木与冰	玻璃与玻璃	钢与橡胶
动摩擦因数	0.02	0.03	0.40	0.60~0.80

例 题

有的地方，人们常用狗拉雪橇（图 \(3 \substack { - 2 6 } )\) 载人及物品。已知雪橇与雪地间的动摩擦因数为 0.02，雪橇（包括所载人及物品）的总质量为300 kg。若近似认为狗以水平拉力拉着雪橇在大小。（取重力加速度 \(g = 9 . 8 \mathrm { ~ N ~ / ~ k g ~ }\) ）

分析

以雪橇为研究对象，其受到的拉力和摩擦力如图 3-27 所示。雪橇在水平雪地上做匀速直线运动，由二力平衡可知，狗拉雪橇的拉力与滑动摩擦力大小相等，由此可求出狗拉雪橇的拉力大小。

解

由题意可知， \(\mu = 0 . 0 2 , \ m = 3 0 0 \mathrm { k g }\) 。

雪橇做水平方向的匀速直线运动，则

$$ F = f, N = m g

$$

由滑动摩擦力公式 \(f { = } \mu N\) ，知

$$ \begin{array}{r l} F & = \mu m g \ & = 0. 0 2 \times 3 0 0 \mathrm{kg} \times 9. 8 \mathrm{N/kg} \ & = 5 8. 8 \mathrm{N} \end{array}

$$

故狗拉雪橇的拉力大小为 58.8 \(\Nu _ { \circ }\)

讨论

58.8 N 相当于一个人提约 6 kg 的物体所用的力。用这么小的力就可拉动总质量为300 kg 的雪橇，可见雪地上物体受到的滑动摩擦力一般较小。这也是雪天人容易滑倒的原因之一。

图 3-26 狗拉雪橇

图 3-27 雪橇在水平方向上的受力示意图

策略提炼

在真实情境中，影响问题解决的因素较多。我们要善于抓住主要因素，忽略次要因素。

在本题中，可将研究对象“雪橇”视为质点，根据二力平衡等解决问题。

滑动摩擦力的大小可运用 \(f = \mu N\) 计算，注意正确分析物体对接触面的压力。

迁 移

如果雪地的情况不变，当狗拉着雪橇在水平雪地上加速前进时，雪橇所受的摩擦力是否改变？请简述理由。

2.静摩擦力

当两个彼此接触、挤压的物体之间没有发生相对运动，但具有相对运动的趋势时，接触面上会产生一种阻碍相对运动趋势的力，这种力称为静摩擦力（static frictional force）。静摩擦力的方向总是与接触面相切，并且与相对运动趋势的方向相反。如图 3-28 所示，用力拉木箱，在没有拉动木箱的情况

图3-28 静止木箱受到静摩擦力

下，木箱虽然静止，但具有相对地面向右运动的趋势，因此受到向左的静摩擦力。

物理聊吧

静止在斜坡上的巨石（图 3-29）有没有滑动的趋势？石块是否受到静摩擦力的作用？如果有，石块受到的静摩擦力方向如何？

在生活中，人们常利用传送装置运送物品（图 3-30）。若物体与水平传送带相对静止并一起做匀速直线运动，物体是否受到静摩擦力的作用？

图3-29　静止在斜坡上的巨石

图3-30　通过水平传送带运送行李

在图 3-28 所示的情况下，开始时，静摩擦力随拉力的增大而增大。当拉力增大到某一值时，物体突然开始沿接触面滑动。可见，静摩擦力增大到一定限度时，就不再增大，这时物体与接触面之间的静摩擦力达到最大，这个最大值称为最大静摩擦力（themaximum force of static friction），记作 \(f _ { \mathrm { m a x } } { \mathrm { c } }\) 。当拉力大于最大静摩擦力后，物体开始滑动。静摩擦力f的值在 0与 \(f _ { \mathrm { m a x } }\) 之间，即 \(0 < f \leqslant f _ { \mathrm { m a x } }\) 。

实验与探究

粗测最大静摩擦力

如图 3-31 所示，将一个物块放在水平桌面上，然后用弹簧测力计水平拉物块。逐渐增大拉力直到物块滑动，记下刚好使物块滑动时测力计的示数，此示数可视为

物块与桌面间的最大静摩擦力。在物块上添加砝码，再次水平拉物块，并记下刚好使物块滑动时测力计的示数。比较并思考：物块与桌面之间的最大静摩擦力与压力有什么关系？

图 3-31　粗测最大静摩擦力

实验表明，最大静摩擦力与两物体间的压力成正比，并与接触面的性质有关。更精确的实验表明，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力。有时为了计算方便，可认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。

例 题

质量为 2 kg 的木箱静止在水平地面上。木箱与地面间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { N / k g }\) 。现给木箱一水平拉力。

（1）当拉力大小为5 N 时，地面对木箱的摩擦力是多大？

（2）当拉力大小变为12 N时，地面对木箱的摩擦力是多大？

（3）此后若将拉力减小为 5 N （木箱仍在滑动），地面对木箱的摩擦力是多大？

分析

依题意，木箱与地面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。当拉力小于等于最大静摩擦力时，木箱仍然保持静止。由二力平衡可知，木箱所受到的静摩擦力等于拉力；当木箱发生滑动时，受到的摩擦力是滑动摩擦力。

解

由题意可知， \(m = 2 \mathrm { k g } , \ \mu = 0 . 5 ,\) 。

木箱与地面间的最大静摩擦力为 \(f _ { \mathrm { m a x } }\) ，则

$$ f _ {\max} = \mu N = \mu m g = 0. 5 \times 2 \mathrm{kg} \times 1 0 \mathrm{N/kg} = 1 0 \mathrm{N}

$$

（1）当拉力 \(F = 5 \mathrm { ~ N ~ }\) 时， \(F < f _ { \operatorname* { m a x } }\) ，木箱没有滑动，地面对木箱的摩擦力为静摩擦力。

$$ f _ {\text {静}} = F = 5 \mathrm{N}

$$

（2）当拉力 \(F = 1 2 \ : \mathrm { N }\) 时， \(F > f _ { \mathrm { m a x } }\) ，木箱滑动起来，地面对木箱的摩擦力为滑动摩擦力。

$$ f _ {\text {滑}} = \mu N = \mu m g = 0. 5 \times 2 \mathrm{kg} \times 1 0 \mathrm{N/kg} = 1 0 \mathrm{N}

$$

策略提炼

分析摩擦力时，首先需要判断是静摩擦力还是滑动摩擦力。判断方法是分析物体间是否发生相对滑动。

滑动摩擦力大小可以用滑动摩擦力公式求解。静摩擦力的大小与物体受到的其他力有关，在满足二力平衡时，可利用二力平衡条件求解。

（3）当拉力减小为 5 N 时，木箱仍在地面上滑动，所以木箱受到地面的摩擦力仍是滑动摩擦力，大小为 10 N。

讨论

要让原先静止在水平地面上的木箱发生相对滑动，所用的拉力要大于最大静摩擦力。发生相对滑动之后，木箱所受的摩擦力也从原来的静摩擦力转变成滑动摩擦力。

迁 移

在上述问题中，若在木箱中放入 2 kg 的重物，仍分别用5 N和12 N的水平拉力拉木箱，地面对木箱的摩擦力分别为多大？若要拉动木箱，水平拉力应满足什么条件？

3.摩擦力的调控

在生产生活中，我们有时需要尽可能加大摩擦力，有时又希望把摩擦力减到最小。掌握了摩擦力的有关规律，就可根据需要找到调控摩擦力的方法。我们需要增大摩擦力时，可采用加大压力的方法或选用动摩擦因数更大的材料等；我们需要减小摩擦力时，则可采用相反的方法。例如，为了打开密封的瓶装罐头盖子，人们发明了可增大摩擦力的开瓶器（图 3-32）；在冰壶比赛中，为了让冰壶能够在赛道上按照期望的方式滑动，运动员就要反复刷冰以减小摩擦力（图3-33）。

图 3-32 开瓶器

图3-33 冰壶比赛中刷冰

调控摩擦力的巧妙方法还有很多。然而，人们发现，虽可用各种办法减小摩擦力，却不可能完全消除摩擦力。不过，若对于研究的问题来说，摩擦力小到可忽略不计，我们则称相关的物体为光滑物体。

能了解重力、弹力、摩擦力和胡克定律的内涵，能计算滑动摩擦力，知道标量与矢量；能用重力、弹力和摩擦力等概念与规律说明生产生活中的相关现象，解决一些相关的实际问题。具有与重力、弹力及摩擦力相关的初步的相互作用观念。

——物理观念

素 养 提 升

节 练 习

1. 在平直公路上，一人用水平力推抛锚的汽车但未推动。有同学认为，原因是人的推力小于汽车并作出正确解释。
2. 质量为 m 的运动员用双手握住固定的竖直杆匀速攀上和匀速滑下时，所受的摩擦力分别是哪一种摩擦力？摩擦力的大小和方向如何？
3. 有同学说，滑动摩擦力的公式 \(f = \mu N\) 中 N 的大小一定等于物体重力的大小。这种说法对吗？请举例加以说明。

4.如图所示，用手握住杯子使其竖直静止于空中。下列说法正确的是A.杯子受到的摩擦力方向竖直向上B.杯子受到的摩擦力大小与重力大小相等C.手握得越紧，杯子受到的摩擦力越大D.手握得越紧，杯子和手之间的最大静摩擦力越大

5.如图所示，水平向右运动的物体重力为200 N，物体与水平面之间的动摩擦因数 \(\mu = 0 . 1 _ { \circ }\) 。在运动过程中，物体还受到一个水平向左的拉力F的作用。求物体受到的摩擦力。

第 4 题

1. 请想象并描述如果世界上没有摩擦力会是什么样子。

第 5 题

请提问

章 末 练 习

科学认知

1. 如图所示，某同学以水平力推水平地面上的桌子，但未推动。请分析在他推桌子的过程中，桌子受到哪些力的作用，并指出这些力的施力物体。
2. 在光滑水平桌面上放置一刻度模糊的弹簧测力计，两位同学各用 5 N的水平力沿相反方向拉弹簧测力计的两端，测得弹簧伸长了 2 cm。该弹簧测力计的读数应该是多少？弹簧的劲度系数是多少？

第 1 题

3.对下列情形中的物体A 进行受力分析，并作出它的受力示意图。

（1）系有细绳的物体 A 静止于光滑斜面上［图（a）］。

（2）梯子 A 上端斜靠在竖直光滑墙面上，下端置于粗糙水平地面，且处于静止状态［图（b）］。

（3）系有细绳的小球A 静止于光滑球面上［图（c）］。

（a）

第 3 题

（c）

1. 一根轻弹簧一端固定。在弹性限度内，若对另一端施加 30 N 的拉力时，弹簧长度为 20 cm ；若施加 30 N 的压力时，弹簧长度为14 cm。求弹簧的原长和劲度系数。

5.如图所示，一木箱受到两个大小分别是 \(F _ { 1 } = 1 0 \mathrm { N } , F _ { 2 } = 4 \mathrm { N }\) 的水平推力的作用，且处于静止状态。求木箱受到的摩擦力。若将 \(F _ { 1 }\) 撤去，木箱受到的摩擦力又如何？

第 5题

6.如图所示，在水平桌面上放一个重力 \(G _ { \scriptscriptstyle A } = 2 0 \ : \mathrm { N }\) 的木块，木块与桌面间的动摩擦因数 \(\mu _ { _ { A } } { = } 0 . 4 _ { \circ }\) 为使这个木块沿桌面做匀速运动，水平拉力F应为多大？如果再在木块A 上加一块重力 \(G _ { B } = 1 0 ~ \mathrm { N }\) 的木块 B，B 与 A 之间的动摩擦因数 \(\mu _ { B } = 0 . 2 _ { \circ }\) 当 A、B 两木块一起沿桌面匀速滑动时，作用于木块A 的水平拉力F 应为多大？此时木块B 是否受到摩擦力的作用？

第 6 题

*7.一只弹簧测力计由于更换内部弹簧，导致示数与真实值不符。某同学进行了以下测试：不挂重物时，示数为 2 N；挂 100 N 重物且保持静止时，示数为 92 N。求示数为 20 N 时，所挂物体的实际重力。

*8. 如图所示，一质量为 m 的正方体物块置于风洞内的水平面上，其中一面与风速垂直，风速为 \({ \mathfrak { v } } _ { 0 }\) 时刚好能推动该物块。已知风对物块的推力 \(F \propto S v ^ { 2 }\) ，其中v为风速，S为物块迎风面积。风速变为 \(2 v _ { 0 }\) 时，刚好能推动用同一材料做成的另一正方体物块，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则该物块的质量为多少？

第8题

科学探究

1. 小王在做“探究弹簧弹力的大小与伸长量的关系”实验时，安装好实验装置，让刻度尺0刻度线与弹簧上端平齐。在弹簧下端挂一个钩码，静止时弹簧长度如图所示，其示数为 cm。在弹簧下端挂三个钩码时，弹簧长度为 \(2 4 . 9 5 ~ \mathrm { c m } _ { \odot }\) 。已知每个钩码质量是50 g，当地重力加速度 \(g = 9 . 8 \ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) ，据此小王计算出弹簧的劲度系数为请你帮助小红提出更合理的数据处理方案：

*10. 请设计一个实验，测量鞋底与地面之间的动摩擦因数。要求写出实验原理，列出实验器材、实验步骤、数据表格等。

第 9 题

科学辨析

1. 我国少数民族地区使用的一种舂米装置如图所示。高处流水注入木槽，一段时间后木槽会绕转轴转动把槽内的水倒空，随即复位。此时，木槽另一端的装置会撞击下面的谷米等，如此反复，即可利用水力帮人劳作。

（1）请说明该装置重心位置相对于转轴变化的规律。

（2）该装置往复运动一次的时间可能与哪些因素有关？为什么？

科技交流

第 11 题

1. 近年来，游泳、滑雪、滑冰等体育运动项目都通过改进装备来减小各种摩擦阻力。请收集相关资料，调查分析其中一种装备在过去几年里的改进情况，说明物理学对这些技术的改进产生了怎样的影响。

我的学习总结

电子 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2.教材来源网络，仅供参考

第4章

力与平衡

导　入　感悟平衡之美第1节　科学探究：力的合成第 2 节　力的分解第3节　共点力的平衡

本章学业要求

能进行力的合成与分解对标量和矢量有比较全面的了解，知道矢量运算的平行四边形定则；能用共点力的平衡条件分析生产生活中的相关问题，解决一些相关的实际问题。具有与力平衡相关的初步的相互作用观念。 ——物理观念

●能体会力的等效替代方法；能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平衡的问题进行分析和推理，获得结论；能使用简单和直接的证据表达自己的观点；能从不同角度解决力与平衡的问题。

科学思维

●能完成“探究两个互成角度的力的合成规律”等物理实验。能观察实验现象，发现并提出物理问题，能作出初步的假设；能根据已有实验方案，使用弹簧测力计等器材收集数据；能通过图形分析，寻找规律，形成初步的结论，能与猜想进行比较；能参考教科书撰写有一定要求的实验报告，在报告中能呈现对实验数据的分析过程，知道交流的重要性。——科学探究

●通过对力的合成规律的探究，能体会物理学研究中科学假设的重要性；能欣赏“力与平衡”之美，能做到实事求是，坚持自己的观点；能为我国古代精湛的建筑技术而骄傲，体会物理学的技术应用在生产生活中的作用及意义。——科学态度与责任

感悟平衡之美

大自然鬼斧神工，留下了无数令人叹为观止的奇景。

贵州梵净山的蘑菇石，看似岌岌可危，实则相当稳固。这亿万年沧桑历练出来的自然造化，给人们带来了许多关于力与平衡的启迪和遐想。

人类以自己的勤劳和智慧，不断探索包括力与平衡在内的各种自然规律，并且利用这些规律创造出无数巧夺天工之作。

贵州梵净山的蘑菇石

山西悬空寺

被 明 代 大 旅 行 家 徐 霞 客（1587—1641）誉为“天下奇观”的山西悬空寺，上接危岩，下临深渊，层层叠叠的殿阁犹如悬在半空之中。它历经了上千年的风雨，仍然能够牢牢地紧贴在峭壁之上。古代工匠们想象力之丰富、建筑技艺之高超、对力与平衡规律的运用之精巧，令人惊叹不已。

大自然的造化与人类的杰作，让我们感受到了力与平衡的美妙与神奇。为何梵净山的蘑菇石不下落？为何悬空寺能固悬峭壁？带着这些问题，我们将学习共点力作用下物体平衡的相关内容。

科学探究：力的合成

生活中常有这样的情境：两个人可将购物篮提起使其处于静止状态（图 4-1），一个人也可将这个购物篮提起使其处于同样状态，但这两种情形中手对购物篮的作用力不同。这些力之间有什么关系呢？本节将学习共点力的合成，通过实验探究共点力合成的规律。

1.共点力的合成

如果几个力同时作用在物体上的同一点，或它们的作用线相交于同一点，我们就把这几个力称为共点力（concurrent force）。当物体同时受到几个力的作用时，我们可用一个力来代替它们，

图 4-1　提起的购物篮

且产生的作用效果相同。物理学中把这个力称为那几个力的合力（resultant force），那几个力则称为这个力的分力（component force）。求几个力的合力的过程称为力的合成（composition of forces）。在图 4-1 中，两人对购物篮的作用力 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 是共点力。若由一个人提起购物篮，此时人对购物篮的作用力为 \(F _ { \circ }\) 。共点力 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 的作用效果与 F 的作用效果相同，因此F是F 和 \(F _ { 2 }\) 的合力， \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 则是F的分力。

我们已学会了同一直线上两个力的合成。但是在很多情况下，作用在物体上的几个共\(F _ { 1 }\) \(F _ { 2 ^ { \varsigma } }\)

2.探究两个互成角度的力的合成规律

当作用在物体上的两个共点力不在一条直线上时，它们合力的大小是否等于两个分力大小之和或之差？这时的合力应该怎样确定？

实验目的

（1）探究两个互成角度的共点力与其合力间的关系。

（2）学习用等效的思想探究矢量合成的方法。

实验器材

木板、橡皮筋、细线、弹簧测力计、图钉、白纸、铅笔、刻度尺、三角板。

实验原理与设计

让两个互成角度的共点力 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 作用于某一物体，并产生明显的作用效果；然后用一个力F来代替 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) ，产生同样的作用效果。测出 \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) 和F，比较它们的大小和方向，找出其中的规律。

实验步骤

另一端与两细线打一个结点B。两细线分别挂上测力计。

（2）如图 4-2（b）所示，分别用力拉两只测力计，用铅笔标出结点B被拉伸到的位置，记为O点。记下此时两只测力计的示数 \(F _ { 1 \setminus \cdot } F _ { 2 } ,\) 并沿两细线标记出力的方向。

安全警示

（3）如图 4-2（c）所示，用力拉一只测力计，同样将结点 B 拉到 O 处，记下此时测力计的示数 F，并沿细线标记出力的方向。

不要将橡皮筋拉伸过长，小心放置图钉等，避免造成伤害。

（4）用力的图示画出 \(F _ { 1 }\) 、 \(F _ { 2 }\) 及 \(F _ { \circ }\)

图 4-2　探究共点力的合成

数据分析

比较 \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 } \setminus { \mathcal { F } }\) 的大小和方向，能否看出三者之间的关\(F _ { 2 }\) 、F 的箭头端用虚线连起来，能否找出规律并进行论证？

对比其他实验小组的数据，看一看你发现的规律是否具有普遍性。

实验结论

F 是 \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) 的合力， \(F _ { 1 } , F _ { 2 }\) 和 F 满足 关系。

讨论

能观察实验现象，发现并提出物理问题，能作出初步的假设；能根据已有实验方案，使用弹簧测力计等器材收集数据；能通过图形分析，寻找规律，形成初步的结论，能与猜想进行比较；能参考教科书撰写有一定要求的实验报告，在报告中能呈现对实验数据的分析过程，知道交流的重要性。

保持两只测力计的拉力大小不变，只改变它们的夹角，合力的大小如何变化？合力大小是否一定等于原来两个力的大小之和？合力是否一定大于原来的每一个力？请通过实验得出结论并说明原因。

注意提升提问能力、猜想假设能力及利用图像进行分析论证的能力。

——科学探究

3.平行四边形定则

大量实验研究表明，若以表示互成角度的两共点力的有向线段为邻边作平行四边形，则两邻边间的对角线所对应的这条有向线段就表示这两个共点力的合力大小和方向，如［图 4-3（a）］所示。这就是共点力合成所遵循的平行四边形定则（parallelogram rule）。

实际上，物体所受的力常常不止两个。如果物体受到三个或更多个共点力的作用，我们可用平行四边形定则先求出其中两个力的合力，然后用平行四边形定则再求这个合力与第三个力的合力［图4-3（b）］，直到把所有外力都合成为止，最后得到这些力的合力。

图4-3　用平行四边形定则进行力的合成

前面已从有无方向的角度认识了矢量和标量。从运算角度来看，相加时遵循平行四边形定则的物理量称为矢量，如力、加速度等都是矢量；相加时遵循代数相加法则的物理量称为标量，如时间、路程等都是标量。矢量与标量遵循不同的运算法则，这是二者的重要区别。

拓展一步

用三角形定则求合力

由平行四边形定则可推出矢量合成的三角形定则。在求合力时，只要把表示原来两个力的有向线段首尾相接，然后从第一个力的始端向第二个力的末端画一条有向线段，这条有向线段就表示原来两个力的合力（图 4-4）。

如果物体受两个以上的力的作用，仍然可以用同样的作图法。把表示所有力的有向线段依次首尾相接，这样，从第一个力的始端向最后一个力的末端画出的有向线段就表示所有力的合力（图4-5）。

图4-4　两力的合成示意图

图 4-5 三力的合成示意图

例 题

岸边两人同时用力拉小船，两力的大小和方向如图4-6所示。请分别用作图法和计算法求出这两个力的合力。

图4-6　两人拉小船示意图

分析

已知两个共点力 \(F _ { 1 }\) 、 \(F _ { 2 }\) 的大小和方向，根据平行四边形定则，用力的图示法作平行四边形，那么，对角线对应的有向线段就表示这两个力的合力。

解

（1）作图法

选定合适的标度，如用5.0 mm长的线段表示150 N的力，用O点代表船。依据题意作出力的平行四边形，如图4-7所示。

用刻度尺量出表示合力F的对角线长为20.0 mm，可求得合力的大小

$$ F = 2 0. 0 \times \frac {1 5 0}{5 . 0} \mathrm{N} = 6 0 0 \mathrm{N}

$$

用量角器量出 \(F\) 与 \(F _ { 1 }\) 的夹角为 \(6 0 ^ { \circ } .\)

故这两个力的合力大小为 600 N，方向与 \(F _ { 1 }\) 成 \(6 0 ^ { \circ }\) 。

（2）计算法

如图 4-8 所示，平行四边形的对角线 AB、OD 交于 C 点，由于 \(O A = O B\) ，所以平行四边形OADB是菱形，OD与AB 互相垂直平分，OD是 \(\angle A O B\) 的角平分线，则

$$ \angle A O D = 6 0 ^ {\circ}, O D = 2 O C = 2 O A \cos 6 0 ^ {\circ}

$$

因此，合力的大小

$$ F = 2 F _ {1} \cos 6 0 ^ {\circ} = 6 0 0 \mathrm{N}

$$

方向与 \(F _ { 1 }\) 成 60°。

讨论

由计算可知，当两个力等大且夹角等于 \(1 2 0 ^ { \circ }\) 时，其合力与这两个力大小恰好相等。要使合力大于或小于这两个力，夹角需分别满足什么条件？

策略提炼

两个力的合力既可用作图法，又可通过计算求得。作图法直观明了，但在作图和测量时难免存在误差。相对 而 言， 通 过 计算得到的结果更精确。 在 进 行 计 算时，通常先作出平行四边形，再用三角函数等相关数学方法求解。选择用作图法还是通过计算求解，应根据题目的要求确定。

图4-7　作图法求合力大小

图4-8　计算法求合力大小

迁 移

用计算法求合力，在画出平行四边形后，通常可用多种数学方法求解。上题还有其他

物理聊吧

自制一个平行四边形模型（图4-9），结合模型讨论以下问题：

（1）合力的大小和方向怎样随两个分力夹角的改变而改变？

（2）合力是否总是大于两个分力？合力何时达到最大值，何时达到最小值？

（3）当两个分力之间的夹角分别为 \(0 ^ { \circ }\) 和\(1 8 0 ^ { \circ }\) 时，它们的合力如何计算？

说一说你的想法，并与同学交流。

图4-9　平行四边形模型

节 练 习

1. 请参考教科书内容撰写“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验报告，注意在报告中呈现通过实验数据及力的图示得出初步结论的过程。
2. 在学过的物理量中，分别指出三个矢量和三个标量，并说出它们的运算规则。当几个矢量同在一条直线上时，它们的合成有什么特点？
3. 关于“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验，下列说法正确的是A.测合力时，橡皮筋的结点应被拉到测对应分力时的同一位置B.实验中应尽量保持弹簧测力计的拉力方向与木板平行C.实验中应保证两只弹簧测力计的拉力大小之和等于所测合力的大小D.以两个力为邻边作平行四边形，两邻边间的对角线对应的有向线段表
4. 若两个力大小分别为 \(F _ { 1 } = 3 \mathrm { N } , \ F _ { 2 } = 8 \mathrm { N }\) ，则它们的合力大小可能为A. 1 N B. 3 N C. 10 N D. 13 N

5.作用在同一物体上的两个力的大小分别为 \(F _ { 1 } = 2 0 \mathrm { N } , F _ { 2 } = 2 0 \mathrm { N } _ { \circ }\) 。先用作图法求出两个力的夹角分别为 60°、90°、120方向，再通过计算法求解。

6.三力的大小分别为 2 N、7 N、8 N，其夹角可变化。求它们合力的最大值和最小值。

1. 医生在治疗腿脚骨折时，常用如图所示的牵引方法。试算出图中伤腿所受的拉力。（取sin $3 7 ^ { \circ } = 0 . 6 , { \mathrm { ~ } } \cos 3 7 ^ { \circ } = 0 . 8 $ ，重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } )\)

第7题

第2节

力的分解

否也可用几个力来等效替代？本节将学习力的分解。

1.力的分解

多个力同时作用在一个物体上，可产生一个总的效果（图4-10）。反之，作用在物体上的一个力，也可产生多个效果。例如，当用右手提一只沉重的箱子时，你的身体将不由

自主地倾向左侧（图4-11），这时你提箱子的力F就产生了两个作用效果：一个竖直向上，它使箱子提起并保持在一定高度；另一个水平向左，它使箱子紧压在你右腿的外侧。若把这两个效果分别视为是由力 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 产生的，我们就可用 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 来替代F， \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 }\) 为F的分力。求一个已知力的分力的过程称为力的分解（resolution of force）。

图4-10　合力的作用

图4-11　分力的作用

迷你实验室

感受力的作用效果

取一根细线，将细线的一端系在右手中指上，另一端系上一个重物。取一支铅笔，一端顶在细线上的某一点，另一端置于右手掌心（图 4-12）。你能感觉到重物竖直向下拉细线的力产生的作用效果吗？请根据你的感受在图中标出这两个分力的方向。操作时请注意安全，避免被笔尖刺伤、重物砸伤等。

图4-12　感受力的作用效果

两个力可合成为一个合力，一个力也可分解为两个分力。实际上，在力的合成中，组成合力的每一个力都可视为分力。所以，力的分解是力的合成的逆运算，力的分解同样遵循平行四边形定则。

理论上，不论有多少个共点力，都可以用一个合力来等效替代。当各分力已知时，合力是唯一确定的。反之，一个力也可用多个分力来等效替代，但因为对同一条对角线可作出无数个平行四边形，所以合力的分解方式也是多种多样的。

2. 力的正交分解

在许多情况下，为了计算方便，可把一个力分解为两个互相垂直的分力，这种分解方法称为力的正交分解。

人拉行李箱时（图 4-13），可将其拉力进行分解。沿水平与竖直两个方向建立直角坐标系，将人拉箱子的力F沿x 轴和y轴两个方向分解（图4-14），可得

$$ \begin{array}{l} F _ {x} = F \cos \theta \ F _ {y} = F \sin \theta \end{array}

$$

\(F _ { x }\) 产生水平向前拉箱子的效果， \(F _ { y }\) 产生竖直向上提箱子的效果。

图4-13　拉力的作用效果

图4-14　拉力的正交分解

如图 4-15 所示，人沿斜面下滑，为了研究问题的方便，可将人受到的重力按正交分解法进行分解。沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向建立直角坐标系，将重力G沿x 轴和y轴两个方向分解。

若斜面的倾斜角为θ，由三角函数知识可得

$$ G _ {1} = G \sin \theta , \quad G _ {2} = G \cos \theta

$$

\(G _ { 1 }\) 产生使人沿斜面下滑的效果， \(G _ { 2 }\) 产生使人紧压斜面的效果。

图 4-15　沿斜面下滑时重力的正交分解

3.力的分解的应用

在生产生活中，力的分解有着十分广泛的应用。上山的路一般修成盘山公路（图 4-16），城市中高架桥要建造很长的引桥，这是为什么呢？由上面的例子可知，斜面越陡，倾角θ就越大，分力 \(G _ { 1 }\) 也就越大，分力 \(G _ { 2 }\) 则越小。汽车上坡时，需克服分力 \(G _ { 1 }\) 的阻碍作用；下坡时，分力 \(G _ { 1 }\) 产生使车下滑的效果。因此，修建盘山公路和很长的引桥等是为了减小坡度，使汽车上坡时更容易、下坡时更安全。

巧妙利用分力可为生活提供便利。如图 4-17 所示，为拉出陷入泥坑的汽车，可将绳子的一端绑在树 \(\perp ,\) ，另一端和汽车相连，并使绳子绷紧，然后在绳子中间用垂直于绳的力拉绳。这个拉力便可分解成两个较大的分力，使绳对汽车产生很大的拉力，从而把汽车从

图4-16　盘山公路

图4-17　较小的力可分解为较大的力

迷你实验室

分力大小与夹角的关系

在一只带把手的杯子里加半杯水，用一根橡皮筋水平拉着（图 4-18），直到把杯子拉动，感受两手用力的大小。当两根橡皮筋之间的夹角增大时，同样拉动杯子，你感觉两手所用的力是增大了还是减小了？

图4-18　感受夹角对分力的影响

当合力一定时，分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变；在两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力越大（图4-19）。

图4-19　分力与夹角有关

（b）

在我国古代，智慧的劳动人民就利用合力与分力的关系，设计出了结构精美的拱桥，大大提高了桥梁的承载能力（图 4-20）。例如，赵州桥（图 4-21）就是古代劳动人民智慧的结晶，它开创了中国桥梁建造的崭新局面，载入了世界桥梁史册。

能欣赏“力与平衡 ”之美；能为我国古代精湛的建筑技术而骄傲，体会物理学的技术应用在生产生活中的作用及意义。

图4-20　拱桥的受力分析

——科学态度与责任

图4-21　赵州桥

节 练 习

1. 试分析图中手推车里的物品受到的重力会产生哪两个作用效果。按照平行四边形定则画出物品受到的重力以及它的两个分力的示意图。
2. 如图所示，已知合力F 及其中一个分力F ，或者知道合力F 及两个分力的方向，用作图法求未知的分力。

（a）

（c）

第2题

（d）

第 1 题

1. 如图所示，一个物体受到三个互成 \(1 2 0 ^ { \circ }\) 的共点力的作用。已知 \(F _ { 1 } = 1 0 \ : \mathrm { N }\) \(F _ { 3 } = 3 0 \mathrm { N }\) 求物体受到的合力。
2. 如图所示，当你在单杠上做“引体向上”动作时，两臂的夹角越大，身体上升就越困难。请解释原因。

第3题

第4题

1. 上网查询相关资料，了解我国赵州桥及悬空寺等的基本信息、建筑结构和建筑价值等，完成一篇小论文，并与同学交流讨论。

第3节

共点力的平衡

远古的巨石，至今仍然矗立，向人们述说史前的故事（图 4-22）。繁华的现代都市，一切都在高速运转，人们却自有动中取静的办法。在商场，你即使站着不动，自动扶梯也会平稳地送你上楼、下楼（图 4-23）。

图4-22　远古巨石

图4-23　商场扶梯

为什么远古的巨石至今不倒？为什么站在扶梯上的人能平稳运动？本节将学习与此相关的平衡状态及所需满足的平衡条件。

1.物体的平衡状态

在日常生活中，我们看见房间里的家具、放在桌面上的书等，都像远古巨石那样处于静止状态；在平直公路上匀速行驶的汽车、无风时天空匀速降落的雨滴等，都像匀速自动扶梯上的人一样处于匀速直线运动状态。

物理学中，把物体静止或做匀速直线运动时所处的状态称为平衡状态。

物理聊吧

飞机从起飞到以一定速度平稳飞行（图 4-24），再到降落，最后停在机场的停机坪上。在这个过程中，哪些阶段飞机处于平衡状态？

图 4-24　平稳飞行的飞机

2.共点力的平衡条件

物体保持平衡状态需要满足什么条件？我们知道，物体在不受任何外力作用或受到两个平衡力作用时，将处于平衡状态。从力的合成来分析，此时物体所受合力 \(F _ { \underset { \mathbf { H } } { } } = 0\) 。

那么，物体同时受到多个互成角度的共点力作用时，要满足什么条件才能处于平衡状态呢？我们知道，任意两个共点力都可用一个合力来等效替代。据此，三个及以上的共点力最终都可等效简化为两个共点力。可见，三个及以上共点力的平衡，最终也都可简化为二力平衡。因此，共点力作用下物体的平衡条件是合力为0，即

$$ F _ {\text {合}} = 0

$$

也可以说，若作用在物体上的几个共点力的合力为0，就达到了力的平衡（equilibrium offorces）。梵净山的蘑菇石和山西的悬空寺，正是因为满足了平衡条件而屹立不倒。

迷你实验室

共点力的平衡条件

用三只弹簧测力计沿三个方向拉住一个轻小物体（图 4-25），记下弹簧测力计的示数及作用力的方向，根据平行四边形定则确定三个力是否满足平衡条件。

图4-25　探究共点力的平衡条件

拓展一步

判断受多个共点力作用的物体是否处于平衡状态

物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，所受合力为 \(0 _ { \circ }\) 此时平移力的作用线，使各力首尾相接，必然会构成一个封闭的多边形（图 4-26）。反过来，我们也可根据物体所受的多个共点力能否构成封闭的多边形，来判断物体是否处于平衡状态。

图 4-26　三力平衡

例 题

分析

如图 4-28 所示，以结点 O 为研究对象，它受到鸟笼上端绳子的拉力 T，以及两段绳子OA和OB的拉力 \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 ^ { \circ } }\) 结点 O 在这三个共点力的作用下处于平衡状态，其中， \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 }\) 的合力 F 与 T 大小相等、方向相反，T 的大小与鸟笼所受重力大小相等。由此可通过平行四边形定则作图求解。

解

图4-27　静止的鸟笼

以结点 O 为研究对象，根据共点力的平衡条件，作受力分析如图 4-28 所示。

$$ F = T, \text {且} T = G

$$

由三角函数关系得

$$ \begin{array}{l} F _ {1} = F \cos 3 0 ^ {\circ} = 1 9. 6 \times 0. 8 6 6 \mathrm{N} = 1 7. 0 \mathrm{N} \ F _ {2} = F \sin 3 0 ^ {\circ} = 1 9. 6 \times 0. 5 \mathrm{N} = 9. 8 \mathrm{N} \end{array}

$$

所以，绳子OA对结点 O的拉力大小是 17.0 N，方向沿

图4-28　对结点 O 作受力分析

绳由O 指向 A；OB对结点 O的拉力大小是9.8 N，方向沿绳由O指向 \(B _ { \circ }\)

讨论

实际上绳子对结点 O 的拉力与结点 O 对绳子的拉力大小是相等的，因此 OA、OB 两段绳子所受的拉力并不相等。若两绳能承受的最大拉力相同，持续增大悬挂物的重力，受拉力较大的OA段绳子就先被拉断。请验证一下这是否符合实际情况。

迁 移

求解平衡问题还可利用正交分解的方法。先建立直角坐标系，将物体受到的各个力都分解到 x、y 轴方向，由平衡条件可得，x、y 轴方向的合力必须同时为 0（想想为什么），由此可列出两个方程，通过解方程组求解问题。你能用该方法求解上面的例题吗？请试一试。

素 养 提 升

能进行力的合成与分解，对标量和矢量有比较全面的了解，知道矢量运算的平行四边形定则；能用共点力的平衡条件分析生产生活中的相关问题，解决一些相关的实际问题。具有与力平衡相关的初步的相互作用观念。

——物理观念

策略提炼

解决共点力的平衡问题，通常先确定研究对象，再进行受力分析，然后根据平衡条件建立未知量与已知量的关系列方程求解。

若物体受到三个力的作用且处于平衡状态，则其中任意两个力的合力必然与第三个力大小相等、方向相反。这时可根据平行四边形（或三角形）的几何关系列方程求解，也可用正交分解方法求解。若物体在更多力的作用下处于平衡，则通常用正交分解方法列方程求解。

迷你实验室

你能超出多少

在我国某些地区有一种伸臂桥（图 4-29）。当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。

现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图 4-30 摆放。若木条长度均为 l，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒，木条 2 的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？

图4-29　伸臂桥及其示意图

图4-30　怎样保持平衡

节 练 习

1. 竖直上抛的物体到最高点时的瞬时速度为 0，这时物体是否处于平衡状态？为什么？
2. 如图所示，一球置于木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 \(N _ { 1 }\) ，木板对球的支持力大小为 \(N _ { 2 \circ }\) 。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置缓慢转到水平位置。计摩擦，在此过程中A. \(N _ { 1 }\) 始终减小， \(N _ { 2 }\) 始终增大 B. \(N _ { 1 }\) 始终减小， \(N _ { 2 }\) 始终减小C. \(N _ { 1 }\) 先增大后减小，N 始终减小 D. \(N _ { 1 }\) 先增大后减小， \(N _ { 2 }\) 先减小后增大

\(3 0 ^ { \circ }\)

1. 如图所示，拖把是生活中常用的清洁工具，由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为 m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g。用该拖把在水平地板上 \(g _ { \circ }\) 拖地，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为 \(\theta _ { \circ }\) 若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

第 2 题

第 3题

第 4 题

1. 如图所示，杂技演员在钢丝上缓慢行走，当走到中间O点时钢丝与水平方向的夹角为 \(1 5 \%\) 若演员质量为65 kg，钢丝所受拉力为多大？（取 \(\sin 1 5 ^ { \circ } = 0 . 2 5 9\) ，重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) ，不计钢丝质量）

2. 如图所示，质量为 10 kg 的物体 B 放在倾斜的木板 A上。当物体 B 受到一平行于木板向上、大小为100 N的拉力作用时，刚好沿木板匀速上滑；当物体B受到一平行于木板向下、大小为20 N 的拉力作用时，刚好沿木板匀速下滑。现将木板放平，欲使 B 沿水平方向匀速运动，要对它施加多大的水平力？（取重力加速度 g \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } \mathrm { ~ } ,\) ）

第 5 题

第 6 题

请提问

章 末 练 习

科学认知

1. 如图所示，A、B 两个质量分布均匀的光滑球处于静止状态。它们各自所受到的力分别为A. 3 个和 4 个 . 4 个和 3 个C. 3 个和 3 个 D. 4 个和 4 个
2. 用两条细绳把一个画框悬挂在墙上。下列四种挂法中，单条细绳对画框的拉力最小的是

A

B

C

3.如图所示，质量为m 的物体放在水平桌面上，在与水平方向成θ 角的拉力 F 作用下加速运动。已知物体与桌面间的动摩擦因数为 \(\mu\) ，下列说法正确的是A. 物体受到的摩擦力为Fcos θB. 物体受到的摩擦力为μmgC. 物体对地面的压力为mgD. 物体受到地面的支持力为mg -Fsin

1. 如图所示，重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢内的石块就会自动滑下。下列说法正确的是A. 在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变B.自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小C.自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小D.石块开始下滑时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力

5.将一个已知的力分解为互成角度的两个分力时，只能得到一组解的是A.已知两个分力的大小C. 已知一个分力的大小和方向D.已知一个分力的大小和另一分力的方向

1. \(S _ { 1 }\) 和 \(S _ { 2 }\) 表示劲度系数分别为 \(k _ { 1 }\) 和 \(k _ { 2 }\) 的弹簧， \(k _ { 1 } > k _ { 2 } ;\) ；a 和 b表示质量分别为 \(m _ { a }\) 和 \(m _ { b }\) 的小物块， \(m _ { a } > m _ { b \circ }\) 将弹簧与物块按图示方式悬挂起来，要求两根弹簧的总长度最长，则应使A. \(S _ { 1 }\) 在上，a在上 B. S 在上，b 在上C. \(S _ { 2 }\) 在上，a在上 D. \(S _ { 2 }\) 在上，b 在上

第 1 题

D

第 3 题

第4 题

第 6题

*7. 现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压肉拉力和颈椎支持力，如图所示。某同学头重G，若低头看手机时头颈弯曲与竖直方向成 \(6 0 ^ { \circ }\) ，此时肌肉对头的拉力 \(F _ { m }\) 约为头重的4倍，由此估算颈椎受到的压力为多大。（颈椎受到的压力大小等于颈椎对头的支持力大小 \(F _ { c }\) ，可用余弦定理求解）

第 7 题

科学探究

1. 在做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验时，如果只有一只弹簧测力计，其他实验器材齐全，能否完成实验？如果能完成，说明应如何操作。
2. 如图所示，在长度为 l 的细绳中间悬挂一质量为 m 的重物，然后沿刻度尺逐渐分开双手。通过刻度尺读出细绳刚断时双手的距离为 d，由此计算细绳能承受的最大拉力，并说出计算依据。（动手做此实验时，请注意安全）

科学辨析

1. 如图所示，在晒被单时，绳子被下拉，与水平线成一夹角 θ。如果通过支架把绳子再拉紧些，是否有可能把绳子拉到完全水平？为什么？

第 9 题

第 10 题

温故知新

11.将一重力可忽略不计的纸夹在书内，已知书对纸的压力为2 N，若用 F = 1 N 的水平拉力拉纸，纸刚好被匀速拉出。求纸与书之间的动摩擦因数。

12.请根据第3章（相互作用）和第4章（力与平衡）的内容，结合你的理解，画出概念图。

我的学习总结

单 元 自 我 检 测

一、选择题（本题共 5 小题。在每小题给出的四个选项中，第 1 ～ 3 题只有一项符合题目要求，第4、5题有多项符合题目要求）

1. 如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部经过 b 点爬到 a 点。下列说法正确的是A.在a点碗对蚂蚁的支持力大于在 b点的支持力B. 在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力 0C. 在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力 bD.在a点蚂蚁受到的合力大于在 b点受到的合力 第1题

2. 一根轻弹簧一端固定，用大小为 \(F _ { 1 }\) 的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l ；改用大小为 \(F _ { 2 }\) 的力拉弹簧，平衡时长度为 \(l _ { 2 \mathrm { ~ O ~ } }\) 。若弹簧的压缩或拉伸均在弹性限度内，则该弹簧的劲度系数为V \(\frac { F _ { 2 } + F _ { 1 } } { l _ { 2 } - l _ { 1 } }\) B. \(\frac { F _ { 2 } + F _ { 1 } } { l _ { 2 } + l _ { 1 } }\) C. \(\frac { F _ { 2 } - F _ { 1 } } { l _ { 2 } + l _ { 1 } }\) D. \(\frac { F _ { 2 } - F _ { 1 } } { l _ { 2 } - l _ { 1 } }\)

3.重力为G的体操运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则A. 当 \(\theta = 6 0 ^ { \circ }\) 时，运动员单手对地面的正压力大小为 \(\frac { G } { 2 }\) B. 当 \(\theta = 1 2 0 ^ { \circ }\) 时，运动员单手对地面的正压力大小为GC.当 θ增大时，运动员受到的合力增大

4.两个共点力 \(F _ { 1 \setminus } \ F _ { 2 }\) 大小不同，合力大小为 F，则A. \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 }\) 同时增大 10 N，F 也增大 10 N B. \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 }\) 同时增大 1倍，F也增大1倍C. \(F _ { 1 }\) 增大 10 N， \(F _ { 2 }\) 减小10 N，F一定不变 D. 若 \(F _ { 1 } , \ F _ { 2 }\) 中的一个增大，F 不一定增大

1. 如图所示，一灯笼悬挂于两墙壁之间，绳 OA 水平。若使悬挂点 A 向上移动并适当将绳 OA 延长，以保持O点的位置不变，则A点向上移动的过程中，绳OA的拉力大小 \(F _ { 1 }\) 和绳OB 的拉力大小 \(F _ { 2 }\) 的变化可能是\(F _ { 1 }\) B. \(F _ { 1 }\) 先减小后增大C. \(F _ { 2 }\) 逐渐减小 D. \(F _ { 2 }\) 逐渐增大

二、非选择题

1. 如图所示，将橡皮筋的一端固定在 A 点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为 5 N、最小刻度为 0.1 N 的弹簧测力计。沿两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮筋的活动端拉到O 点时，两根细绳

（1）由图可读得两个相互垂直的拉力的大小 F 和 \(F _ { 2 }\) 分别为 N 和到 0.1 N）

（2）在坐标纸上画出这两个力及它们的合力的图示。

第5题

第6题

1. 如图所示，质量为 m 的物体放在一倾角为 \(3 0 ^ { \circ }\) 的斜面上时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一个水平向右的恒力 F，物体可沿斜面匀速向上滑行。求： X

（1）物体与斜面间的动摩擦因数；

（2）恒力 F 的大小。

第 7 题

8.从高空下落的物体所受空气阻力随下落速度的增大而增大，经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度。已知球形物体体积不大时所受的空气阻力f 与速度 v 和球半径 r成正比，即 \(f { = } k v r\) ，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数 \(k = 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { N } \cdot \mathrm { s } / \mathrm { m } ^ { 2 }\) 。已知水的密度 \(\rho = 1 . 0 \times 1 0 ^ { 3 } \mathrm { k g / m } ^ { 3 } ,\) \(g = 1 0 \ \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) ，求半径 \(r = 0 . 1 \ \mathrm { m m }\) 的球形雨滴在无风时的终极速度。

单元自我评价^a

回顾本单元的学业要求和所学内容，结合本次单元自我检测和平时学习情况，根据下表左列的提示，进行自我评价，在表中填写学会了什么、存在什么问题、今后努力的方向等相关内容。

所学内容	我学会的	存在问题	努力方向
物理概念规律及应用
模型建构科学推理科学论证质疑创新
问题证据解释交流
科学本质科学态度社会责任

第5章

牛顿运动定律

导　入　跨越时空的对话

第 1 节　牛顿第一运动定律

第 2 节　科学探究：加速度与力、质量的关系

第 3 节　牛顿第二运动定律

第 4 节　牛顿第三运动定律

第 5 节　超重与失重

本章学业要求

能理解牛顿运动定律的内涵能分析超重和失重现象，知道单位制的意义及国际单位制中的力学单位；能用牛顿运动定律解释生产生活中的相关现象、解决一些相关的实际问题。具有与牛顿运动定律相关的运动与相互作用观念。 ——物理观念

●能领悟理想实验的科学推理方法及其意义；能对动力学问题进行分析和推理，获得结论；能用与牛顿运动定律相关的证据表达自己的观点；能从不同角度解决动力学问题，具有质疑和创新的意识。

科学思维

●能完成“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”等物理实验。能从生活中的现象提出可探究的物理问题；能在他人帮助下制订科学探究方案，有控制变量的意识，会使用实验器材获取数据；能根据数据形成结论，会分析导致实验误差的原因；能参考教科书撰写有一定要求的实验报告，在报告中能对实验操作提出问题并进行讨论，能用学过的物理术语等交流科学探究过程和结果。 ——科学探究

●通过与伽利略、牛顿相关的史实，能认识物理学研究是不断完善的；乐于将牛顿运动定律应用于日常生活实际；能认识牛顿运动定律的应用对人类文明进步的推动作用。

——科学态度与责任

跨越时空的对话

力与运动之间究竟有什么关系？

这个看似简单的问题，曾经困扰了人们数千年，并由此引发了科学史上一次次影响广泛、意义深远的思想革命，改变了人们对世界的认识。其中出现了三个重要的代表人物，他们生活在不同的时代。如果把他们对力与运动的观点放在一起进行比较，就如同聆听三位智者之间一场跨越时空的对话。

古希腊伟大的哲学家亚里士多德认为，物体的运动需要外力维持，因为地面上的物体与地球一样，它们的“自然本性”是静止；而天体则与地球不同，它们的“自然本性”是以地球为中心做圆周运动。

约两千年后，科学先驱伽利略认为，若物体在完全光滑的斜面上运动，下滑会越来越快，上滑会越来越慢，在平面上会永远运动下去。运动物体静止下来，不是因为“自然本性”，而是接触面不光滑所致。

又过了约一百年，伟大的物理学家牛顿“站在巨人的肩膀上”，经过长期的实验和理论研究，创立了以三大运动定律为基础的经典力学体系，为全新的科学发展时代奠定了基础。

三位智者跨越时空的“对话”，展示了经典力学创建的漫长而艰辛的历程。那么，牛顿的三大定律是什么？对我们的生产生活有怎样的影响？通过本章的学习，你将知道相关的答案，也将体验与这些伟人进行跨越时空的对话。

亚里士多德

伽利略

牛顿

牛顿第一运动定律

力和运动无处不在。静止的足球受到脚的作用力会运动起来；运动的汽车刹车后在阻力的作用下会停下来；飞行的乒乓球受到球拍的击打，运动的方向会发生改变……力和运动之间有何关系？本节我们将学习有关内容。

1.力与运动的关系

如果仅靠直观感觉来看待力与运动之间的关系，我们会觉得亚里士多德的观点似乎更符合日常经验。从他的视角看，对于静止的马车，若马不拉车，车就不动；对于运动的马车，马不继续拉车，车会停下来（图 5-1）。这难道不是证明了有力才有运动，运动需要外力来维持吗？

亚里士多德的观点可表述为：有外力的作用时物体才能运动，要维持物体的运动就需要外力。

然而，伽利略设计了一个理想实验（图 5-2）。让小球沿光滑斜面从左侧某一高度滚下时，无论右侧斜面坡度如何，它都会沿斜面上升到与出发点几乎等高的地方。斜面倾角越小，小球运动到同一高度所经历的路程越远。当斜面倾角逐渐减小到 0，右侧变为水平面时，小球将为了达到那个永远无法达到的高度而一直运动下去。在这种情况下，小球在水平方向没有受力，却会一直运动下去。显然，伽利略的理想实验反驳了亚里士多德的观点。

在此基础上，法国哲学家和科学家笛卡儿（R. Descartes，1596—1650）把伽利略的结论推广到没有重力、摩擦力、空气阻力等更理想的情况，进一步完善了伽利略的观点。他提出：若没有其他原因，运动物体将继续以原来的速度沿直线运动。

图5-1　艺术作品中的古希腊战车

图5-2　伽利略的理想实验设计

能领悟理想实验的科学推理方法及其意义；能从不同角度解决动力学问题，具有质疑和创新的意识。

通过与伽利略、牛顿相关的史实，能认识物理学研究是不断完善的。

——科学思维，科学态度与责任

素 养 提 升

匀速直线运动的演示

伽利略与笛卡儿的观点皆基于理想情况，在现实中很难实现。下面我们通过气垫导轨来演示在可忽略阻力情况下物体的匀速直线运动。如图 5-3 所示，用气泵给气垫导轨充气，气体从气垫导轨的小孔中喷出，在滑块与导轨间形成空气薄层——气垫。这样，滑块在气垫上滑动时受到的阻力很小，可忽略不计。将气垫导轨调至水平，给滑块一个初速度，使其运动起来。利用光电门和电子计时器测出滑块在运动过程中的速度几乎不变。可见，若水平方向没有外力作用，则滑块能保持匀速直线运动。

图5-3　通过气垫导轨演示匀速直线运动

2.牛顿第一运动定律及其意义

牛顿在伽利略、笛卡儿等人研究成果的基础上提出了著名的牛顿第一运动定律（Newton’s first law of motion），简称牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动或静止状态，除非有外力迫使它改变这种状态。

完全不受外力作用只是一种理想情况。实际上，当合外力为 0 时，物体也能保持匀速直线运动或静止状态。这也意味着，若物体受外力作用且合外力不为 0，则其运动状态

任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态不变的属性，物理学中将这种属性称为惯性（inertia）。惯性大小表示了物体运动状态改变的难易程度，它只与物体的质量有关：质量大的物体运动状态相对不易改变，惯性大；质量小的物体运动状态相对容易改变，惯性

生活中，很多现象可以用惯性来解释。例如，乘坐汽车时，如果紧急刹车，我们的身体会前倾；跳远或跳高运动员助跑后，飞身一跃，会在空中继续前进；在公路上行驶的车辆，一旦遇到突发事件，小车容易停下，大车则不易停下……这些皆与物体的惯性有关。

迷你实验室

上段还是下段的细绳先断

用细绳把一本较厚重的书扎一圈，然后将细绳的一端悬挂起来，另一端用手牵住（图5-4）。

先迅速用力将细绳往下一拉，看细绳的哪一段先断开。

再做一次，拉力逐渐加大，直到细绳被拉断，看看又是细绳的哪一段先断开。

比较两次拉断细绳的结果，想想这是为什么。

图5-4　实验演示图

节 练 习

上运动。你认为他的说法对吗？为什么？

1. 有人认为，只有静止或做匀速直线运动的物体才具有惯性，做变速运动的物体不具有惯性。这种看法对吗？物体的惯性与物体的运动状态是否有关？请用实例来说明你的看法。

3.下列情形中，物体的运动状态发生变化的是A.小石块做自由落体运动 B.小球在光滑水平面上做匀速直线运动C.汽车在转弯时速度的大小不变 D. 铅球被抛出以后的运动

4.对一些生活中的现象，某同学试图从惯性角度加以分析。其中正确的是A.“强弩之末，势不能穿鲁缟”，是因为强弩的惯性减小了B.汽车超速行驶易引发交通事故，是因为速度大的汽车惯性大C.车辆转弯时适当减速，是为了减小车辆的惯性，使行驶更安全D. 货运列车在有些车站加挂车厢，这会增大它的惯性

5.下列情况可能存在的是A. 物体的速度很大，但惯性很小 B. 物体的惯性很大，但质量很小C.物体的体积很大，但惯性很小 D. 物体所受的合外力很大，但惯性很小

请提问

科学探究：加速度与力、质量的关系

日常生活中，我们常见到如图 5-5 所示的情境：若帮忙推车的人越多，推力越大，车的速度改变就越快；相同推力下，若汽车是空车，则比满载时速度改变快。可见，汽车获得的加速度与其质量和所受外力有关。通过观察，加速度与力和质量可能存在以下关系：对同一物体，作用力越大，加速度越大；对不同物体，在相同力的作用下，物体质量越小，加速度越大。真有这样的规律吗？

图 5-5　多人推车

下面，我们通过实验来探究加速度与力、质量之间的关系。

实验目的

（1）探究加速度与力、质量的关系。

（2）学习用控制变量法探索物理规律。

实验器材

带定滑轮的木板、薄垫块、小车、细绳、重物（小钩码或沙桶等）、打点计时器、纸带、交流电源、天平、砝码、刻度尺。

实验原理与设计

本实验运用控制变量法，分别探究加速度与受力大小、加速度与质量的关系，实验装置如图 5-6 所示。实验中，通过打点计时器打出的纸带测量小车的加速度 \(a _ { \scriptscriptstyle \mathrm { ~ O ~ } }\) 重物通过细绳给小车施加外力 \(F _ { \circ }\)

若保持小车质量 m 不变，通过增减重物的方式改变作用于小车的拉力 F，测出小车相应的加速度 a，则可得 a 与 F 的关

安全警示

使用打点计时器时应注意用电安全。另外，请注意避免小车、砝码及重物等意外落下，以免摔坏器材或砸伤身体。

图5-6　实验装置示意图

系；若保持拉力 F 不变，通过在小车上增减砝码的方式改变小车的质量 m，测出相应的加

速度 a，则可得 a 与 m 的关系。

实验设计有一个关键点：如何测量小车受到的合外力？常用方法是将木板一端垫高，使小车不挂重物时能匀速运动，此时小车重力沿斜面的分力恰好抵消其所受摩擦力及其他阻力；同时，所挂重物的质量应远小于小车的质量。在此条件下，所挂的重物重力大小便可近似认为等于作用于小车的合

实验步骤

（1）将小车置于带有定滑轮的木板上，将纸带穿过打点计时器后挂在小车尾部。

（2）用薄垫块将木板一端垫高，调整其倾斜

方法点拨

在物理实验中，要注意控制实验过程中的不同变量。若讨论加速度与受力的关系，应控制质量不变；若讨论加速度与物体质量的关系，应控制受力不变。这种控制一些物理量不变，先分别研究待测量与其中一个物理量的关系，再综合解决问题的控制变量法，被广泛地应用于科学研究中。

程度，直至小车运动时打点计时器在纸带上打出的点分布均匀为止。

（3）在细绳一端挂上重物，另一端通过定滑轮系在小车前端。注意重物质量应远小于小车质量。

（4）将小车靠近打点计时器后开启打点计时器，稍后再将小车由静止释放。打点计时器在纸带上打出一系列点，据此计算出小车的加速度。保持小车质量不变，增加重物的质量（重物总质量仍远小于小车质量），重复实验，将小车所受的不同拉力与相应计算出的加速度记录下来。

（5）保持重物不变，增加或减少小车上的砝码以改变小车的质量，重复实验，将小

数据分析

（1）小车质量 m 一定时，将所受拉力 F 与相应加速度 a 的实验数据填入表 5-1 中；拉力F 一定时，将小车质量m 与相应加速度 a 的实验数据填入表5-2中。

表5-1

加速度与受力的关系（m 不变）

实验序号	1	2	3	4	5	...
拉力 F/\text{N}
加速度 a/(\text{m}\cdot\text{s}^{-2})

表5-2

加速度与质量的关系（F 不变）

实验序号	1	2	3	4	5	...
质量m/kg
加速度a/(m·s-2)

（2）利用以上数据，在坐标纸上作出 m 不变时的a-F 图像，并探究当 F 不变时，不同质量的物体对应的加速度的变化情况。

实验结论

分析数据及图像，你得到的结论是：

（1）对同一物体，当 m 不变时，a 与 F 的关系是

（2）对不同物体，当 F 不变时，a 与 m 的关系是

讨论

（1）本实验产生误差的主要原因是什么？

能从生活中的现象提出可探究的物理问题；能在他人帮助下制订科学探究方案，有控制变量的意识，会使用实验器材获取数据；能根据数据形成结论，会分析导致实验误差的原因；能参考教科书撰写有一定要求的实验报告，在报告中能对实验操作提出问题并进行讨论，能用学过的物理术语等交流科学探究过程和结果。

注意提升实验设计能力与科学推理能力。

（2）与同学讨论，为何在该实验中要垫高木板一端？为何所挂重物的质量要远小于小车质量？（若暂时没有结论，待学习完下一节内容后再进一步研究）

（3）对探究方案有何改进建议？你还有其他设计方案吗？

DIS实验室

探究加速度与力、质量的关系

实验设计和操作与上述实验类似，只不过测量小车的加速度时，不使用打点计时器，而是通过位移传感器、数据采集器在相连接的计算机上直接读出。完成相关实验操作，输入相关数据，计算机可直接显示小车质量不变时的 a-F 图像。将小车质量增加为原来的 2 倍，重复上述过程，画出不同质量的小车对应的 a-F 图像。析图像，得出结论。

节 练 习

1. 请参考教科书内容撰写“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”的实验报告，请对实验操作提出问题，并进行讨论。
2. 某实验小组在做本节的探究实验时，用质量分别为 M、2M 和 3M 的小车进行了实验并作出了如图所示的图像。根据图像，你能得到什么结论？（请写出两点）
3. 在“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验中，小车质量 M和重物质量m分别选取下列四组值：

① M = 500 g，m 分别为 70 g、100 g、125 g、150 g

② M = 500 g，m 分别为 20 g、30 g、40 g、50 g

③ M = 200 g，m 分别为 70 g、75 g、100 g、125 g

第2题

④ \(M = 2 0 0 ~ \mathrm { g }\) ，m 分别为 30 g、40 g、50 g、60 g在其他操作都相同且正确的情况下，选用 组值测量后所作出的图像较准确。在选用此组值时，m 取 时实验误差较大。

1. 在“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验中，甲、乙两位同学作出的 a-F 图像分别如图中Ⅰ和Ⅱ所示，均明显超出了误差范围。请从平衡摩擦力的角度分析出现这种状况的原因。

*5. 关于“ 探究加速度与物体受力、物体质量的关系”的实验，试设计一个不需测量加速度 a 具体数值的实验方案。

第 4 题

*6. 为了探究受到空气阻力时物体运动速度随时间的变化规律，某同学采

用了与“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验类似的实验装置，如图（a）所示。实验时，平衡小车与木板之间的摩擦力后，在小车上安装一薄板，以增大空气对小车运动的阻力。

（1）往砝码盘中加入一小砝码，在释放小车 （选填“之前”“之后”通打点计时器的电源。

（2）从纸带上选取若干计数点进行测量，计算得出各计数点的时间t与速度v的数据，见下表。

时间 t/s	0	0.50	1.00	1.50	2.00	2.50
速度 v/\left( {\mathrm{m} \cdot {\mathrm{s}}^{-1}}\right)	0.14	0.19	0.23	0.26	0.28	0.29

请根据实验数据在图（b）所示坐标上作出小车的v-t图像。

（a）

（b）

第 6 题

（3）通过对实验结果的分析，该同学认为，随着运动速度的增大，小车所受的空气阻力将变大。你是否同意他的观点？请根据 v-t 图像简要阐述理由。

请提问

第3节

牛顿第二运动定律

由上节实验探究可知，物体运动的加速度不仅与其受到的合外力有关，还与物体的质量有关。怎样定量描述这种关系？本节将在前面实验探究的基础上，学习牛顿第二运动定律。

1.牛顿第二运动定律及其意义

大量实验证明，在我们常见的环境中，当物体的质量不变时，其加速度与所受合外力成正比，即

$$ \frac {F _ {1}}{a _ {1}} = \frac {F _ {2}}{a _ {2}} = \frac {F _ {3}}{a _ {3}} = \dots \quad \text {或} \quad a \propto F

$$

不同物体所受合外力不变时，其加速度与质量成反比，即

$$ m _ {1} a _ {1} = m _ {2} a _ {2} = m _ {3} a _ {3} = \dots \quad \text {或} \quad a \propto \frac {1}{m}

$$

综合以上两个结论，可得

$$ a \propto {\frac {F}{m}} \quad {\text {或}} \quad F \propto m a

$$

用文字可表述为：物体加速度的大小与所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。这就是牛顿第二运动定律（Newton’s second law of motion），简称牛顿第二定律。

我们可把上述结论综合写成等式 \(F = k m a\) ，式中 k 是比例常数。力的单位牛顿（N）就是根据牛顿第二定律规定的：使质量为 1 kg 的物体产生 \(1 \ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 的加速度所用的力为\(1 \ \mathrm { k g } \cdot \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 。后人为了纪念牛顿，将 \(\mathrm { k g } \cdot \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 称为牛顿，简称牛，用符号 N 表示。

$$ 1 \mathrm{N} = 1 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s} ^ {2}

$$

当公式 \(F { = } k m a\) 中力、质量、长度及时间的单位分别为牛顿（N）、千克 \(\left( \mathrm { { k g } \right) }\) 、米（m）和秒（s）时， \(k = 1\) 1，公式可简化为

$$ F = m a

$$

第 5 章 牛顿运 动定律

当物体同时受到几个外力的作用时，F 代表的是合外力。

牛顿第二定律表明，力与加速度总是同时出现，同时消失；力不变则加速度也不变，力随时间改变，加速度也随时间改变；合外力为 0 则加速度为 0，这时物体将保持静止或匀速直线运动状态。

图 5-7　赛车

由牛顿第二定律可知，要使物体获得较大的加速度，除了对物体施加较大的作用力外还要使物体的质量尽可能小。例如，赛车要求能在尽可能短的时间内达到最大速度，即要有尽可能大的加速度，除了装备功率很大的发动机外，在设计时还要考虑选用轻型材料，以使赛车的质量尽可能小（图 5-7）。

物理聊吧

由牛顿第二定律可知，无论多小的力皆能使物体产生加速度，改变物体的运动状态。但是，当我们推静止的柜子时（图 5-8），有时即使用了很大的力也无法推动，柜子仍处于静止状态。这与牛顿第二定律矛盾吗？为什么？

图5-8　用力推柜子

例 题

某高速列车（图 5-9）起动后的初始阶段，若在该阶段列车组的牵引力为 \(3 . 0 4 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { ~ N ~ }\) ，列车所受阻力为 \(7 . 9 \times 1 0 ^ { 4 } \mathrm { ~ N ~ }\) ，列车质量为 \(4 . 5 \times 1 0 ^ { 5 } ~ \mathrm { k g } .\)

图5-9　高速列车

分析

已知牵引力 F、阻力 f 和列车质量 m，由牛顿第二定律可求出列车运动的加速度 \(a _ { \scriptscriptstyle \mathrm { ~ O ~ } }\) 列车做匀加速直线运动，已知起动时的初速度为 0 和末速度 \({ \boldsymbol { v } } _ { i }\) 的大小，结合求出的加速度 a，由匀变速直线运动的速度公式可求出所需要的时间。

解

以列车为研究对象，受力分析如图5-10所示。

由题意可知， \(m = 4 . 5 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { k g } , F = 3 . 0 4 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { N }\) \(f = 7 . 9 \times 1 0 ^ { 4 } \mathrm { N } , v _ { 0 } = 0 , v _ { t } = 6 0 \mathrm { k m } / \mathrm { h } = 1 6 . 7 \mathrm { m } / \mathrm { s } _ { \mathrm { c } }\)

选定列车运动方向为正方向。由牛顿第二定律，得

$$ F - f = m a

$$

$$ \begin{array}{r l} a & = \frac {F - f}{m} \ & = \frac {3 . 0 4 \times 1 0 ^ {5} \mathrm{N} - 7 . 9 \times 1 0 ^ {4} \mathrm{N}}{4 . 5 \times 1 0 ^ {5} \mathrm{kg}} \ & = 0. 5 0 \mathrm{m} / \mathrm{s} ^ {2} \end{array}

$$

由匀变速直线运动的速度公式 \(\boldsymbol { v } _ { t } = \boldsymbol { v } _ { 0 } + a t \ ,\) ，得

$$ t = \frac {v _ {t} - v _ {0}}{a} = \frac {1 6 . 7 \mathrm{m/s} - 0}{0 . 5 0 \mathrm {m/ s^ {2}}} = 3 3. 4 \mathrm{s}

$$

所以，列车从起动至速度达到 60 km/h 需要的时间为 33.4 s。

讨论

一般高速列车起动时的加速度比轿车起动时的加速度小，加速到相同速度（在汽车能达到的速度范围内）需要的时间更长。查阅资料，了解高速列车的加速情况，判断本题的计算结果是否在合理范围内。

图 5-10　列车受力分析示意图

策略提炼

运动与力的问题一般有两大类型：第一，已知物体受力，由此确定其运动情况；第二，已知物体运动情况，由此确定其所受外力。

用牛顿第二定律解决动力学问题时，通常需明确研究对象，分析其受力及运动情况，再运用牛顿第二定律和运动学公式列出方程求解。其中加速度通常是联系力和运动情况的桥梁。

迁 移

受力情况？请解答下面的题目。

某高速列车总质量为 \(4 . 5 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { k g }\) ，在以 216 km/h 的速度直线行驶时紧急制动，要求从开始制动到完全停止的行驶距离不超过 \(2 \ 0 0 0 \ \mathrm { m } _ { \circ }\) 该高速列车在制动过程中受到的阻力至少为多大？

物理聊吧

第 2 节的探究实验曾要求：垫高木板一端，用小车重力沿斜面的分力来抵消其所受摩擦力及其他阻力，使小车不挂重物时能匀速运动；同时，挂上重物的质量远小于小车质量，在此条件下对应的重物重力便可近似认为等于作用于小车的合外力。学习了牛顿第二定律后，请与同学讨论这些做法的道理。

迷你实验室

自制简易加速度计

我们可用轻杆、小球和硬纸板等制作一个简易加速度计，粗略测量运动物体的加速度。如图5-11所示，在轻杆上端装上转轴，固定于竖直放置的画有角度的纸板上的 O 点，轻杆下端固定一小球，杆可在竖直平面内自由转动。将此装置固定于运动物体上，当物体向右加速（减速）运动时，杆便向左（向右）摆动。根据摆动后稳定的角度，便可知道加速度的大小和方向。

图 5-11　简易加速度计示意图

你能解释这个加速度计的工作原理吗？

2.国际单位制

物理学中，有些物理量的单位是基本的，而有些则是导出的。例如，位移的单位是米（m），时间的单位是秒（s），由速度定义式导出的速度单位是米每秒（m/s），由加速度定义式导出的加速度单位是米每二次方秒 \(\left( { \bf m } / { \bf s } ^ { 2 } \right)\) 。再如，在牛顿第二定律中，质量的单位是千克（kg），由 \(F = m a\) 导出的力单位是千克米每二次方秒 \(\left( \mathrm { \ k g \cdot m / s } ^ { 2 } \right)\) ），即牛顿（N）。人们选定了几个物理量为基本量，其单位为基本单位，根据物理学关系式由基本量推导出的其他物理量的单位为导出单位。基本单位与导出单位一起组成单位制（system of units）。

为了促进科技交流与贸易往来等，不同地域的人们逐渐将各自的单位规定进行统一。1960 年，第 11 届国际计量大会通过了国际单位制（简称 SI），并很快被世界上大多数国家采用。在国际单位制中，与力学有关的基本单位有米（m）、千克 \(\left( \ \mathbf { k } \mathbf { g } \ \right)\) 和 秒（s），而速度、加速度、力等物理量的单位皆为导出单位。

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表5-3

国际单位制（SI）基本单位

物理量名称	单位名称	单位符号
长度	米	m
质量	千克(公斤)	kg
时间	秒	s
电流	安[培]	A
物质的量	摩[尔]	mol
热力学温度	开[尔文]	K
发光强度	坎[德拉]	cd

本套教科书统一采用国际单位制单位。在用公式进行计算的时候，如果已知量都采用国际单位制中的单位，计算的结果也必然是国际单位制单位。因此，在计算时所列的等式中，就不必一一写出每个物理量的单位，只要在计算结果的数据后面正确写出所求量的单位即可。

例 题

如图 5-12 所示，一载有小孩的雪橇总质量为30 kg，在拉力 F 的作用下，沿水平地面向右做直线运动，该拉力与水平面的夹角为 \(3 0 ^ { \circ }\) 。经过 50 cm，速度由 0.6 m/s 均匀减至 0.4 m/s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为0.2，求作用力F 的大小。

分析

图5-12　拉雪橇

由题意可知，物体做匀减速直线运动，已知初速度、末速度和位移，由运动学公式可求加速度，再由牛顿第二定律求出未知力。

解

以小孩和雪橇整体为研究对象，建立直角坐标系，受力分析如图5-13所示。

由题意可知， \({ v _ { 0 } } \mathrm { { = } } 0 . 6 \mathrm { { m } / \mathrm { { s } } }\) ，v = 0.4 m/s， \(s = 5 0 \mathrm { c m } =\) \(0 . 5 \mathrm { m }\) \(m = 3 0\) kg， \(\mu = 0 . 2\)

图5-13　受力分析示意图

由公式 \({ v _ { t } } ^ { 2 } - { v _ { 0 } } ^ { 2 } = 2 a s\) ，得

$$ a = \frac {v _ {t} ^ {2} - v _ {0} ^ {2}}{2 s} = \frac {0 . 4 ^ {2} - 0 . 6 ^ {2}}{2 \times 0 . 5} \mathrm {m/ s^ {2}} = - 0. 2 \mathrm {m/ s^ {2}}

$$

加速度方向沿x轴负方向。根据牛顿第二定律，沿水平方向，有

$$ F \cos \theta - f = m a

$$

沿竖直方向，有

$$ N + F \sin \theta - m g = 0

$$

又因为 \(f = \mu N ,\) 所以联立以上各式，得

$$ \begin{array}{r l} F & = \frac {m (\mu g + a)}{\cos \theta + \mu \sin \theta} \ & = \frac {3 0 \times (0 . 2 \times 9 . 8 - 0 . 2)}{0 . 8 6 6 + 0 . 2 \times 0 . 5} \mathrm{N} \ & = 5 4. 7 \mathrm{N} \end{array}

$$

所以拉力F的大小为 \(5 4 . 7 \mathrm { N _ { c } }\) 7

讨论

策略提炼

物体在受到多个力的情况下运用牛顿第二定律时，可用正交分解法列方程组求解。通常，先建立直角坐标系，将力和加速度分解在两个坐标轴上，一般以物体运动的方向为x 轴的正方向，列方程组\(\left\{ \begin{array} { l l } { F _ { x } \triangle = m a _ { x } } \\ { F _ { y } \triangle = m a _ { y } } \end{array} \right.\) ，再求解方程组即可。

从本题分析可知，物体对水平面的压力不等于重力。为什么？

迁 移

恰当建立直角坐标系会更加简便地解决问题。

一名滑雪者以1 m/s的初速度沿山坡匀加速直线滑下（图 5-14），山坡的倾角为 \(3 0 ^ { \circ } { } _ { \mathfrak { c } }\) 。若人与滑板的总质量为 \(6 0 \ { \mathrm { k g } } .\) ，滑板受到的阻力为 100 N，不计空气阻力，取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) ，请计算3 s 内滑雪者下滑的位移。

图 5-14　滑雪

例 题

气球上系一重物，自地面上升。当上升到离地面 9 m 时，速度为 \(4 ~ \mathrm { m / s }\) ，此时绳子突然断开。不计空气阻力，取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 。

（1）重物从离开气球至上升到最高点，经历的时间和上升的高度各为多少？

（2）重物离开气球后经多长时间才能落地？落地时的速度是多大？

分析

绳子突然断开时，重物与气球具有相同的速度。由于惯性，重物将继续向上运动。重物在空中运动只受到重力作用，根据牛顿第二定律可知，重物加速度大小为g，方向始终竖直向下。因此，绳子断开后重物先竖直向上做匀减速直线运动，上升一段距离到达最高点时速度为0，然后向下做自由落体运动直到落地，如图5-15 所示。

可将运动分为上升和下降两个阶段，根据牛顿第二定律

解

由题意可知， \(\mathcal { v } _ { 0 } { = } 4 \mathrm { m / s } , h { = } 9 \mathrm { m }\) ，上升到最高点时速度 \({ \boldsymbol { v } } _ { t } = 0 _ { \natural }\)

（1）重物离开气球后将先竖直向上做匀减速直线运动到达最高点。重物运动过程中只受重力，因此

$$ \begin{array}{l} m g = m a \ a = g = 1 0 \mathrm {m/ s^ {2}} \end{array}

$$

重物从离开气球到上升到最高点，经历时间为 \(t _ { \textrm { E } }\) 高度为 \(H _ { \perp \circ }\) 。根据匀变速直线运动公式，有

$$ \begin{array}{l} {\pmb {v} _ {t} = \pmb {v} _ {0} - a t _ {\text {上}}} \ {\pmb {v} _ {t} ^ {2} - \pmb {v} _ {0} ^ {2} = - 2 a H _ {\text {上}}} \end{array}

$$

解得

$$ t _ {\text {上}} = \frac {v _ {0}}{a} = \frac {4}{1 0} \mathrm{s} = 0. 4 \mathrm{s}

$$

图 5-15　分析重物运动过程的示意图

$$ H _ {\text {上}} = \frac {v _ {0} ^ {2}}{2 a} = \frac {4 ^ {2}}{2 \times 1 0} \mathrm{m} = 0. 8 \mathrm{m}

$$

（2）重物做自由落体运动过程中，下降总高度为 H，下落时间为 \(t _ { \mathrm { \tiny ~ F \mathrm { \tiny ~ C } } }\) 。由匀变速直线运动公式，有

$$ H = \frac {1}{2} g t _ {\text {下}} ^ {2}

$$

又因为 \(H = H _ { \uparrow } + h = \left( \ 0 . 8 + 9 \ \right) \ \mathrm { m } = 9 . 8 \ \mathrm { m }\) ，所以

$$ t _ {\text {下}} = \sqrt {\frac {2 H}{g}} = \sqrt {\frac {2 \times 9 . 8}{1 0}} \mathrm{s} = 1. 4 \mathrm{s}

$$

重物从绳断到落地经历的时间

$$ t = t _ {\text {上}} + t _ {\text {下}} = (0. 4 + 1. 4) \mathrm{s} = 1. 8 \mathrm{s}

$$

重物落地时的速度

$$ v _ {\text { 地 }} = g t _ {\text { 下 }} = 1 0 \times 1. 4 \mathrm{m/s} = 1 4 \mathrm{m/s}

$$

所以，绳断后重物经0.4 s到达最高点，上升高度为0.8 m；经过 1.8 s 才能落到地面，

讨论

物理学中把物体以某一初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动，称为竖直上抛运动。竖直上抛运动可分为上升和下降两个过程，上升过程为初速度为 \({ \mathfrak { v } } _ { 0 }\) 、加速度大小为 g 的匀减速直线运动，下降过程为自由落体运动。你能写出上升和下降过程涉及的匀变速直线运动的公式吗？

迁 移

竖直上抛运动全过程的加速度大小和方向都不变，且与初速度 \({ \mathfrak { v } } _ { 0 }\) 方向相反，因此还可把竖直上抛运动的全过程视为初速度为 \({ \mathfrak { v } } _ { 0 }\) 、加速度大小为 g 的匀变速直线运动。你能用该方法求解上述问题吗？请试一试。

策略提炼

求解竖直上抛运动，可看成已知力求运动的特例。由于物体只受重力，其加速度恒为 g。

竖直上抛运动是匀变速直线运动，可用匀变速直线运动的公式求解。运用公式时，可对上升和下降过程分别列方程，也可对整个过程列出方程。注意公式中加速度、位移等矢量的正负。

拓展一步

图5-16　苹果动起来了

谁“ 推动 ”了苹果

生活中常会出现这样的情景：在匀速行驶的火车上，较光滑桌面上的苹果保持静止，但当火车加速时，桌面上的苹果却动起来了（图 5-16）。牛顿运动定律告诉我们：力是改变物体运动状态的原因。此时苹果在水平方向的合外力为 0，为什么苹果获得加速度动起来了呢？这与牛顿运动定律似乎矛盾了。

原来，牛顿运动定律是否成立，还与参考系的选择有关。人们将牛顿运动定律在其中成立的参考系称

为惯性参考系，简称惯性系；牛顿运动定律在其中不成立的参考系则称为非惯性系。在研究地面物体的运动时，一般将地面视为惯性系，相对地面做匀速直线运动的其他参考系也可视为惯性系。若选车厢为参考系，当火车匀速行驶时，车厢是惯性系，所以苹果保持静止；当火车加速时，车厢则是非惯性系，此时牛顿运动定律不成立。其实，在非惯性系中，需要引入“惯性力”来修正牛顿运动定律，修正后的牛顿运动定律既适用于惯性系，也适用于非惯性系。火车加速时，车厢中的苹果从非惯性

节 练 习

1. 跳伞运动员从飞机上跳下，在下落一段时间后打开降落伞。在打开降落伞的瞬间，伞突然受到巨大的向上阻力，运动员此时的瞬时速度方向是向上还是向下？速度是增大还是减小？请说明理由。
2. 物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过对单位的分析就可以常数k来表示。根据上述情况，判断声音在该气体中的速度表达式可能是A. \(v = k { \sqrt { \frac { p } { \rho } } }\) B. v = \(v = k { \sqrt { \frac { \rho } { p } } }\) C. \(\boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { v } = k \rho \boldsymbol { p }\) D. \(v = k { \sqrt { \rho p } }\)

3.火箭起飞时需要极大的推力，如图所示。已知某火箭总长度为49.7 m，直径为3.35 m；每个液体助推器长为15.3 m，直径为 2.25 m；火箭的总起飞质量为 460 t，起飞推力为 \(6 . 0 \times 1 0 ^ { 6 } \mathrm { N } _ { \circ }\) 取重力加速度 \(g = 1 0 \ \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) ，试选择数据计算火箭起飞时的加速度。

1. 一辆总质量为1 800 kg 的汽车从静止开始做匀加速直线运动，10 s内速度达到 \(2 6 \mathrm { m } / \mathrm { s } _ { \odot }\) 。已知驾驶员质量为68 kg，求：

（1）汽车受到的合外力大小；

（2）座椅给驾驶员的水平推力。

1. 如图所示，火车在平直轨道上运动，车厢中的光滑水平桌面上用轻弹簧拴着一个小球，弹簧处于自然长度。当乘客看到弹簧的长度变长时，火车可能的运动情况是A.火车向右方运动，速度在增大 B.火车向右方运动，速度在减小C.火车向左方运动，速度在增大 D. 火车向左方运动，速度在减小

第 3题

6.质量为2 kg的物体置于水平地面上，用 10 N 的水平拉力使它从静止开始运动，第 3 s 末物体的速度达到 \(6 \mathrm { m } / \mathrm { s } _ { \mathrm { \odot } }\) 此时撤去拉力，求：

第 5 题

（1）物体在运动过程中受到地面的摩擦力大小；

（2）撤去拉力后物体能继续滑行的距离。

7.滑雪是常见的体育运动项目。某一山坡滑道可视为倾角 \(\theta = 1 4 ^ { \circ }\) 的斜面，一滑雪者从静止开始匀加速自由下滑，在时间 \(t = 8 \mathrm { ~ s ~ }\) 内沿山坡滑道滑下的位移 \(s = 4 0 \mathrm { m }\) ，后又进入水平滑道。设水平滑道足够长，不计空气阻力，取 \(\sin 1 4 ^ { \circ } = 0 . 2 4\) \(\cos 1 4 ^ { \circ } = 0 . 9 7\) ，重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 。

（1）求滑雪板与斜面滑道之间的动摩擦因数μ 。

（2）若水平滑道与山坡滑道的动摩擦因数相同，求该滑雪者在水平滑道上滑行的最大距离。

8.在一高台上以6 m/s的初速度竖直上抛一石子，抛出点距地面的高度为9 m。不计空气阻力，取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) 。

（1）石子经多长时间落回抛出点？落回抛出点的速度为多大？

（2）石子抛出2 s 时离地面的高度为多少？

请提问

第4节

牛顿第三运动定律

我们知道，两个物体之间的作用总是相互的。一个物体对另一个物体施加作用力，这个物体同时也受到另一个物体对它产生的作用力。这两个力有什么关系呢？本节将学习作用力与反作用力以及牛顿第三运动定律。

1.作用力与反作用力

当你用手拍桌子时，你就对桌子施加了作用力；同时，你会感觉手痛，因为桌子也对你的手施加了作用力（图 5-17）。

你推别人时，别人也在推你。穿上轮滑鞋与同伴做图 5-18 所示的实验，你会发现：

图5-17 你拍桌子，桌子也“拍”你

图 5-18　你推他，他也在推你

当两个物体不直接接触时，如果一个物体施力于另一物体，是否也有类似情况呢？

迷你实验室

磁铁间的作用力

当两物体 A、B 不直接接触时，如果物体 A 施

如图 5-19 所示，把两根条形磁铁放在尽可能光滑的台面上，让它们彼此接近但不直接接触，用两手分别按住它们以保持静止。当放开一只手或两只手同时放开时，你看到了什么现象？这说明了什么？

图5-19　条形磁铁间存在相互作用力

所有这类现象都表明，力的作用是相互的。物理学中，把物体间的这一对相互作用力称为作用力（acting force）与反作用力（reacting force）。我们可把其中任意一个力称为作用力，另一个力则称为反作用力。

2.牛顿第三运动定律及其意义

下面我们通过实验来观察物体间的作用力与反作用力的关系。

实验与探究

作用力与反作用力的关系

把两只弹簧测力计 A 和 B 的挂钩挂在一起，两手分别用水平力拉两只弹簧测力计（图 5-20），B 的示数可指示出 A 对 B 作用力的大小，而 A 的示数可指示出B对A 作用力的大小。

图5-20　水平拉弹簧测力计

改变两手的拉力，看看两只弹簧测力计的示数如何变化。

观察并思考：作用力与反作用力的大小、方向和作用线分别有怎样的关系？

在长期研究的基础上，牛顿总结并提出了牛顿第三运动定律（Newton’s third law of motion），简称牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

如果用F表示作用力，F'表示反作用力，那么牛顿第三定律可用公式表示为

$$ F = - F ^ {\prime}

$$

式中的负号表示作用力 F 与反作用力 \(F ^ { \prime }\) 的方向相反。作用力 F 和反作用力 \(F ^ { \prime }\) 分别作用于两个不同的物体。

牛顿第三定律揭示了物体之间相互作用的规律，使人们不仅可研究单个物体的运动，还可把存在相互作用的各个物体的运动联系起来进行研究。

牛顿第三定律可用来解释许多现象。跳水运动员在跳板上起跳时，他对跳板的蹬力与跳板对他的弹力是一对相互作用力。火箭发射升空时，燃料燃烧产生气体，气体受力向下喷出，这些气体反过来给火箭施加了一个反作用力，把火箭送上太空（图 5-21）。

图 5-21　气体的反作用力使火箭升空

DIS实验室

探究作用力与反作用力的关系

将两个调零后的力传感器相互钩住，保持轴心在同一直线上，轻拉传感器，观

图5-22　用力传感器探究作用力与反作用力的关系

节 练 习

1. 如图所示，假如你在静止于水面的小船上从船头走向船尾，小船会向什么方向运动？试解释这一现象。
2. 以卵击石，鸡蛋“粉身碎骨”，石头却“安然无恙”。这是否与牛顿第三定律矛盾？请解释此现象。

3.请比较一对作用力和反作用力与一对平衡力的异同点，并举例说明。

1. 一物体悬挂在弹簧测力计上，并处于静止状态。请证明弹簧测力计的示数等于物体的重力。

第 1 题

5.关于马拉车，若马拉车的力大小为 \(F _ { 1 }\) ，车拉马的力大小为 \(F _ { 2 \circ }\) 。下列说法正确的是A. \(\frac { \pi } { 2 }\) 拉车不动，是因为 \(F _ { 1 } \Join\) 于 \(F _ { 2 }\) B. 马拉车前进，是因为 \(F _ { 1 }\) 大于 \(F _ { 2 }\) C. 不论车如何运动， \(F _ { 1 }\) 总等于 \(F _ { 2 }\) D. 只有当 \(\frac { \pi } { \lambda } .\) 拉车不动或 \(\frac { \pi } { \lambda } .\) 拉车匀速前进时， \(F _ { 1 }\) 才等于 F

$$ F _ {2}

$$

1. 甲、乙两人玩手拉手拔河游戏，结果甲胜乙败。有同学错误地认为，甲取胜的原因是甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力。请指出该同学的错误之处，并分析甲取胜的原因。

超重与失重

当你乘坐游乐场的游乐装置（图 5-23）加速下降时，好像心都提到了嗓子眼，这是为什么？宇宙飞船升空时，航天员要平躺着，而且会感觉胸部受到压力，这又是为什么？本节将通过牛顿运动定律来理解超重和失重现象。

1.超重现象

要知道一个物体所受的重力有多大，直接的办法是利用测力计对它进行测量。那么，是否无论物体处于什么样的运动状态，用这种办法都能准确测出物体所受重力呢？下面我们做一个小实验。

图5-23　游乐场的游乐装置

迷你实验室

通过弹簧测力计观察超重现象

在弹簧测力计上挂一个重物，观察并记下静止时测力计的示数。

让挂着重物的测力计缓缓地向上或向下做匀速运动，观察测力计的示数有无变化。

使挂着重物的测力计突然竖直向上做加速运动（图 5-24），仔细观察在加速的瞬间测力计示数有无变化。如有变化，是变大还是变小？

图5-24　实验演示图

由实验可知，在静止和匀速直线运动状态下，测力计的示数保持不变；而在竖直向上加速时，测力计的示数变大。为什么会有这种现象呢？

重物的受力和运动情况如图5-25所示。重物受到重力G和测力计在竖直方向拉力T 的作用，以加速度 a 竖直向上加速运动。若取竖直向上为正方向，根据牛顿第二定律可得

$$ T - G = m a

$$

所以

$$ T = m a + G > G

$$

根据牛顿第三定律，测力计的示数（重物对测力计的拉力大小）等于测力计对重物的拉力 \(T _ { \circ }\) 可见，当重物竖直向上加速运动时，测力计示数要大于重物所受的重力。

物理学中把物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）大于物体所受重力的现象称为超重（overweight）现象。人们乘电梯加速上升时，就处于超重状态。

2.失重现象

在游乐场的升降机中，若我们以乘坐升降机的人为研究对象，人受到重力 G 和座椅在竖直方向的支持力 N 的作用，如图 5-26 所示。当升降机竖直向下加速时，加速度的方向竖直向下。取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律可得

所以

$$ \begin{array}{c} G - N = m a \ N = G - m a = m (g - a) < G \end{array}

$$

根据牛顿第三定律，人对座椅的压力大小等于 N。可见，当物体竖直向下加速时，人对座椅的压力小于人所受的重力。

物理学中把物体对悬挂物的拉力（或对支持物的压力）小于物体所受重力的现象称为失重（weightlessness）现象。人们乘电梯加速下降时，就处于失重状态。若竖直向下的加速度大小正好等于重力加速度 \(g\) ，人对座椅的压力N = 0，这称为完全失重现象。我们在游乐场乘坐升降机做自由落体运动时，就处于完全失重状态。

图 5-25　向上加速运动的物体的受力分析示意图

图5-26　乘升降机的人的受力分析示意图

能理解牛顿运动定律的内涵，能分析超重和失重现象，知道单位制的意义及国际单位制中的力学单位；能用牛顿运动定律解释生产生活中的相关现象、解决一些相关的实际问题。具有与牛顿运动定律相关的运动与相互作用观念。

物理观念

物理聊吧

在超重或失重现象中，物体受到的重力大小是否改变？若人对座椅的压力为 0，是否可以认为人所受的重力就为0？为什么？

素 养 提 升

例 题

一个质量为70 kg 的人乘电梯下楼。若电梯以 \(3 ~ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 的加速度匀减速下降［图 5-27 （a）］，求这时他对电梯地板的压力。（取重力加速度\(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } \ ,\) ）

分析

人向下做匀减速直线运动，说明加速度方向与速度方向相反，即加速度方向向上。可根据牛顿第二定律求出支持力，然后由牛顿第三定律求得人对地板的压力。

解

以人为研究对象，受力分析如图 5-27（b）所示。

取竖直向上为正方向，设电梯地板对人的支持力大小为 \(N _ { \circ }\) 根据牛顿第二定律可得

$$ N - m g = m a

$$

所以

$$ \begin{array}{r l} N & = m (a + g) \ & = 7 0 \times (3 + 1 0) \mathrm{N} \ & = 9 1 0 \mathrm{N} \end{array}

$$

根据牛顿第三定律，人对地板的压力大小也等于910 N，方向竖直向下。

讨论

人对电梯地板的压力大于自身重力，出现超重现象。无论物体是向上运动还是向下运动，只要加速度方向向上，就必然产生超重现象。该情境中若加速度较大，人会有怎样的感受？

迁 移

若加速度方向向下，情况会怎么样呢？

（a）

（b）

图 5-27 匀减速下降的电梯及乘电梯的人的受力分析示意图

策略提炼

解决超重与失重的问题，其实是牛顿运动定律的运用。在解决此类问题时，要注意分析运动情况及受力情况，尤其要注意加速度的方向。

如果物体的加速度方向向上，则该物体处于超重状态；若加速度方向向下，则该物体处于失重状态。

在例题中，若电梯离开某楼层匀加速下降，其他条件不变，则人对电梯地板的压力又为多大？请计算得出结果。

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航天器中的超重和失重

航天器加速升空和减速返回地面时，其上的一切物体都会处于超重状态。如果航天员站立或坐着，在超重情况下，会出现足部血压升高、头部供血不足等现象，样可减轻超重对人体的影响。

航天器进入轨道后，所有物体都近似处于完全失重状态。观看我国航天员王亚平进行太空授课的视频，你会发现若干失重现象：悬浮于空中的圆形水球（图5-29）、不断转圈的单摆、飘来飘去的航天员等。这些都是我们在地面上无法体验到的完全失重现象。

图 5-28　航天员杨利伟平躺在航天器中

图 5-29　航天员王亚平太空授课时展示圆形水球

节 练 习

1. 某同学手提一袋水果站在电梯内。在下列四种情形中，手受到的拉力最大的是A.电梯匀速上升 B.电梯匀速下降C. 电梯加速上升 D.电梯加速下降
2. 为了观察超重和失重现象，质量为 50 kg 的小红站在电梯内的体重计上，如图所示。求电梯处于下列运动状态时体重计的示数：（取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } )\)

（1）电梯匀速上升；

（2）电梯以 \(0 . 8 \mathrm { m / s } ^ { 2 }\) 的加速度匀加速上升；

（3）电梯以 0.8 \(\mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 的加速度匀减速上升。

第2 题

3.如图所示，用一根绳子提一桶水，桶和桶中水的总质量为5 kg。假定绳子能够承受的最大拉力为 52.5 N，取重力加速度 \(g = 9 . 8 \ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) ，若将水桶从静止开始以 \(1 . 5 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }\) 的加速度匀加速提起，请通过计算说明绳子是否会断开。

1. 你站在水平地面上，在迅速蹲下的过程中，你对地面的压力大小与重力相比，会如何变化？请说明理由。

5.在一个上端开口的塑料瓶侧壁的下部打几个小孔，在瓶内灌水之后，发现有水不断从小孔中流出。让瓶子做自由落体运动，观察下落过程中小孔是否有水流出。请解释产生这一现象的原因。如果将瓶子竖直向上抛出，小孔有没有水流出？

第 3 题

6.查阅资料，了解在航天器上进行的微重力条件下的实验，并尝试设计一种在微重力条件下进行实验的方案。

请提问

章 末 练 习

科学认知

1. 假设你在一做匀速直线运动的火车车厢内竖直向上跳起，你还会落到起跳的位置吗？请作出判断，并说明理由。

2.粗糙水平地面上的一只木箱在一水平拉力作用下匀速前进。下列说法正确的是A. 拉力与地面对木箱的摩擦力是一对作用力与反作用力B.木箱对地面的压力与地面对木箱的支持力是一对作用力与反作用力C.木箱对地面的压力与地面对木箱的支持力是一对平衡力D. 木箱对地面的压力与木箱受到的重力是一对平衡力

1. 在粗糙的水平面上，物体在水平推力作用下由静止开始做匀加速直线运动。经过一段时间后，水平推力逐渐减小到0（物体仍在运动）。在水平推力逐渐减小到0 的过程中A.物体加速度逐渐减小，速度逐渐减小B.物体加速度逐渐减小，速度逐渐增大C.物体加速度先增大后减小，速度先增大后减小 OD.物体加速度先减小后增大，速度先增大后减小 OK
2. 某消防队员从一平台无初速度跳下，下落 2 m 后双脚触地，同时采用双腿弯曲的方法缓冲。若视其在缓冲过程中自身重心又匀变速下降了 0.5 m，则在着地过程中，地面对他双脚的平均作用力大约为自身重力的A. 5 倍 B. 10 倍 C. 20 倍 D. 3 倍
3. 蹦极运动过程如图所示。弹性绳的一端固定在O 点，另一端和运动员相连。运动员从A点自由竖直下落，至B点弹性绳刚好伸直，到达最低点C后向上弹起。整个过程中忽略空气阻力。请分析运动员从 A 到 C 的过程中要经历哪些运动过程，每个运动过程是加速还是减速，加速度如何变化。

第 5 题

1. 如图（a）所示，一物块在 \(t = 0\) 力加速度及图中的 \(v _ { 0 } , ~ v _ { 1 } \backprime , t _ { 1 }\) 均为已知量，则可求出A.斜面的倾角 B.物块的质量C. 物块与斜面间的动摩擦因数 D. 物块沿斜面向上滑行的最大高度
2. 某商场安装了智能化的电动扶梯，如图所示。无人乘坐时，扶梯运行得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运行。一位顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程。请分析此顾客在这两个过程中的受力情况。

8.质量为45 kg的某同学站在电梯中的体重计上，用照相机记录了体重计在电梯运行中的示数，如图所示。图中标注的箭头及旁边的数字分别表示电梯运行的方向和到达的楼层。请判断电梯的运动状态，并计算电梯的加速度大小。（取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } \ ,\) ）

（a）

第6题

（b）

第7题

第 8题

9.如图所示，在水平气垫导轨上放置一质量为M的滑块，一不可伸长的轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与滑块和一悬挂物相连接，滑块和滑轮间的轻绳与导轨平行。现将滑块从静止释放，测得滑块先后通过两光电门时的速度大小分别为 \({ \mathcal { V } } _ { 1 }\) 和 \(\boldsymbol { v } _ { 2 }\) ，两光电门间的距离为l 。

（1）求绳对滑块的水平拉力。

（2）求悬挂物的质量。

（3）请推导绳的拉力F 与滑块质量 \(M _ { ☉ }\) 、悬挂物质量m 以及重力加速度 g之间的函数关系。

第 9 题

科学辨析

*10. 在环绕地球的圆形轨道上运行的空间站内，相对空间站悬空、静止的宇航员把一个小物品向前推出，请描述推开过程中和推开后，宇航员和小物品各自相对飞船的运动情况（包括宇航员和小物品各自的运动方向、运动速度、运动轨迹等），并解释其原因。

温故知新

1. 固定斜面上的一物块受到平行于斜面向上的力 F 的作用，如图所示。若要使该物块在斜面上保持静止，F 的取值应有一定范围。已知其最大值和最小值分别为 \(F _ { 1 }\) 和 \(F _ { 2 } ( F _ { 2 } > 0 )\) ，可求出A.物块的质量 B.斜面的倾角D. 物块对斜面的压力

第 11 题

1. 请根据第5 章（牛顿运动定律）的内容，结合你的理解，画出概念图。

我的学习总结

单 元 自 我 检 测

一、选择题（本题共 5 小题。在每小题给出的四个选项中，第 1 ～ 3 题只有一项符合题目要求，第 4、5 题有多项符合题目要求）

1.下列各组量的单位中，全部属于国际单位制基本单位的是A.速度、质量和时 B.重力、长度和时间C.质量、长度和时间 D.加速度、长度和时间

1. 如图所示，小球从左侧斜面上的O 点由静止释放后沿斜面向下运动，并沿右侧斜面上升。斜面上先后铺垫三种粗糙程度逐渐降低的材料，小球沿右侧斜面上升到的最高位置依次为 1、2、3。对三次实验结果进行对比，可以得到的最直接的结论是A. 如果斜面光滑，小球将上升到与O点等高的位置B.如果小球不受力，它将一直保持匀速直线运动状态或静止状态C.如果小球受到力的作用，它的运动状态将发生改变D. 小球受到的力一定时，质量越大，它的加速度越小
2. 如图所示，质量为 M 的人用一个轻质光滑定滑轮将质量为 m 的物体从高处降下，物体匀加速下降的加速度为 \(a , \mathrm { ~ } a < g _ { \mathrm { ~ o ~ } }\) 不计滑轮的摩擦，地面对人的支持力大小是A.（M + m）g - maC.（M - m）g + ma

第2题

第 3 题

1. 假设一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的某飞行阶段是沿着与月球表面成一倾斜角做匀速直线运动，探测器通过喷气而获得推力。下列说法正确的是A.探测器喷出的气体对探测器产生反作用力，从而使探测器获得推力B.探测器喷出的气体对月球产生作用力，从而使探测器获得推力C.探测器需要竖直向下喷气D.探测器需要向运动的反方向喷气

5.一架直升机悬停在空中向地面投放装有物资的箱子。设投放初速度为0，箱子所受的空气阻力与其下落速度的平方成正比，箱子下落过程中做直线运动且不翻转。关于箱子的下落过程，下列说法正确的是A. 箱子做匀加速直线运动B.箱子先做加速度减小的加速运动，若下落距离足够长，最后做匀速直线运动D.若下落距离足够长，箱内物体有可能不受底部支持力而“飘起来”

二、非选择题

6.某实验小组利用图（a）所示实验装置探究加速度与力、质量的关系。（1）下列做法正确的是 。A.调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行B. 在调节木板倾斜度来平衡木块受到的滑动摩擦力时，将装有砝码的小桶通过定滑轮拴在木块上

C.实验时，先放开木块，再接通打点计时器的电源

（2）为使小桶及桶内砝码的总重力在数值上近似等于木块运动时受到的拉力，应满足的条件是：小桶及桶内砝码的总质量 （选填“远大于”“远小于”或“近似等于”）木块和木块上砝码的总质量。

（3）甲、乙两同学分别用此装置研究加速度 a 与拉力 F 的关系。实验中，木块上均未放砝码，没有平衡摩擦力，分别得到图（b）中甲、乙两条直线。设甲、乙用的木块质量分别为 \(m _ { \ \Psi }\) \(m _ { \mathrm { ~ } z }\) \(\mu _ { \textsf { \tiny { F } . } }\) ，甲、乙用的木块与木板间的动摩擦因数分别为 \(\mu _ { \textsf { Z O } }\) （均选填“大于”“小于”或“等于”） \(\mu _ { \textsf { \tiny P } } , \mu _ { \textsf { \tiny C } }\) ，由图（b）可知， \(m _ { \Psi . }\) _甲 m _乙， \(m _ { z }\)

（a）

（b）

第6题

1. 公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离，当前车突然减速停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相撞。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 1 s。若汽车刹车时所受阻力是其重力的 \(\frac 1 2\) ，安全距离为120 m，求汽车安全行驶的最大速度。

8.如图所示，避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成。一辆质量为10 t的货车行驶到一个长下坡时，因刹车失灵以36 km/h的初速度沿坡向下加速运动，在加速前进了1 km后，驾驶员将车从干道驶入制动坡床并冲上坡床40 m后停止。若货车在该长下坡每行驶1 km高度下降120 m，受到的阻力是车重的10%，制动坡床与水平面的夹角为 \(\theta ( \sin \theta = 0 . 3 )\) 。取重力加速度 \(g = 1 0 \mathrm { m / s } ^ { 2 } ,\) ，若车从干道驶入制动坡床时的速度大小不变，求：

（1）货车刚驶入制动坡床时的速度；

（2）货车在坡床上受到坡床给它的阻力。

第8题

单元自我评价

回顾本单元的学业要求和所学内容，结合本次单元自我检测和平时学习情况进行自我评价，写一篇“单元自我评价”报告。说说你学会了什么、存在什么问题及今后努力的方向等。

后 记

21 世纪初我国启动基础教育课程改革，迄今已十余年。我们根据《普通高中物理课程标准（实验）》（2003 版）编写的普通高中课程标准实验教科书《物理》在实验区已使用十余年。随着基础教育课程改革的深入，修订后的《普通高中物理课程标准（2017 年版）》（以下简称《标准》）已由教育部正式颁布，因此，实验版教科书《物理》也应随之修订。根据国家大政方针和《标准》的要求，在对一线教师大规模问卷调查及深入访谈的基础上，基于多年教科书研究、编写和实践的积淀，教科书编写组对实验版教科书进行了全面修订。

本次修订后的普通高中物理课程标准修订版教科书的整体架构如图所示。

总体来看，修订版教科书具有如下特点：

1. 立意更高，促进学生物理学科核心素养的达成。不仅继承实验版教科书注重落实三维课程目标的特点，而且更加注重体现物理教科书的育人功能，以“素养提升”“本章学业要求”等栏目导向，有效促进教学方式的改进，提升学生物理学科核心素养。
2. 寓意更深，注重从情境走向物理，从物理走向社会的内涵。不仅继承实验版教科书注重联系实际的特点，而且强调问题情境与物理内容的相互呼应。通过“以惑为诱、

选修	选修第一册:物理学与社会发展	选修第二册:物理学与技术应用	选修第三册:近代物理学初步	自主考核
选择性必修	选择性必修第三册:固体、液体和气体,热力学定律,原子与原子核,波粒二象性
	选择性必修第二册:磁场,电磁感应及其应用,电磁振荡与电磁波,传感器
	选择性必修第一册:动量与动量守恒定律,机械振动与机械波,光及其应用
必修	必修第三册:静电场,电路及其应用,电磁场与电磁波初步,能源与可持续发展			合格性考试
	必修第二册:机械能及其守恒定律,曲线运动与万有引力定律,牛顿力学的局限性与相对论初步
	必修第一册:机械运动与物理模型,相互作用与运动定律

修订后整套教科书的基本架构

以问促学”的内容设计，培养学生的物理自然观和建模、推理、论证及质疑能力。

1. 更重实践，强调概念构建过程，注重探究能力的培养。不仅继承实验版教科书的实验栏目，而且注重凸显物理实验的育人功能。通过“学生必做实验”“实验探究”“迷你实验室”“DIS 实验室”等实验版块，以“引导、递进、开放”的精巧设计，培养学生在问题、证据、解释及交流方面的探究能力。
2. 更富逻辑，结构更完善，更符合教育教学规律。不仅继承了实验版教科书结构上注重逻辑的特点，而且通过“方法点拨”“策略提炼”“拓展一步”等栏目，进一步升华学习内容，同时注重难点分解、台阶降低、逐步到位，关注了学生的认知特点。
3. 更重评价，发挥习题功能，促进学生全面发展。改进实验版教科书在习题设计方面的不足，基于物理学科核心素养和学业质量要求，分层设计“节练习”“章末练习”“单元自我检测”，更好发挥习题的功能，促进对核心素养测试的探索。
4. 更加拓展，反映物理学对人类生活及社会发展的影响。不仅继承实验版教科书从物理走向社会的特点，而且注重通过“科学书屋”“物理聊吧”等栏目培养学生的学习兴趣、人文情怀，及节约能源、保护环境的科学态度与社会责任感。
5. 臻于精致，体现“以学生发展为本”的理念。不仅继承实验版教科书图文并茂的特点，而且更加美观、适用，从结构确定、内容纳入、栏目设计、图片选用到版式推敲等多方面皆精雕细琢，旨在全力打造高质量的一流物理教科书。

编写组凝聚了高校学科专家、省市物理教研员、中学教学名师、考试评价专家、国际物理教科书研究者等研究力量，具有高校研究平台与中学教学积累的综合优势。各类课题研究、理论探索、国际比较等，使教科书修订具有研究基础、国际视野，能让物理教科书的质量提升到更高的水平。中学各级教学名师丰富的实践经验、珍贵的教学心得，为教科书修订中落实以学生发展为本的教学理念搭建了接地气的脚手架、扎实的一线平台，让修订版教科书更符合教学实际。

本教科书编写组主要成员及分工如下：全套教科书主编为廖伯琴；本册核心编者有杨燕鸣、梅家烨、谢德胜、冯庆、李富强、廖伯琴；本册由廖伯琴、杨燕鸣统稿，由廖伯琴定稿；全套教科书编务联系工作由李富强、李洪俊负责。

教科书的修订是一系统工程，需各方力量支持。参与本次修订版教科书编写、讨论、审读、组织试教或作出前期贡献的老师还有：李勇、程力、高山、周智良、宋树杰、王宪收、陈松、林伟庆、罗基鸣、黄晓标、林明华、杜明荣、刘林、许华忠、田序海、杨学切、青春、黄国雄、冯庆、邓磊、蒋小平、刘健智、廖元锡、冯华、蒋敏、李太华、张正严、翟厚岚、洪正平、梁雷、贺晓霞、张修文、梁一平、林钦、李晶晶、王文祥、董茂寅、宋协俊、邹建光、时玉义、马凤喜、吴新田、侯辰虎、郑玉峰、程美贵、冯连奎、曹国莹、岳志国、姜妮、欧剑雄、严士线、彭罡、张庆贵、吴双飞、刘新选、黄巧曦、吴寒平、李勇顺、黄惠菁、赵保钢、刘晓玲、林杰、罗国忠等。张书迪女士为本教科书设计图标，并在版式设计方面提出若干建议。

本次修订得到众多专家、学者、教研员、教师、学生以及家长的热诚帮助，得到了山东科学技术出版社的鼎力支持。在此，我们特向提供帮助的各方人士表示由衷感谢！修订后的教科书将很快进入中学课堂，我们恳请各方人士不吝赐教。

挑战与发展共存！我们期待批评，也期待各位的支持。谢谢！

主编　廖伯琴

2019年5月于西南大学荟文楼

物理

PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU WULI BIXIU DI-YICE

主管单位：山东出版传媒股份有限公司

出版者：山东科学技术出版社

发行者：山东新华书店集团有限公司

印刷者：山东临沂新华印刷物流集团有限责任公司

ISBN978-7-5331-9857-2定价：10.27元

物理WU LI

物理 必修第一册

物理 必修 第二册

物理 必修 第三册

物理 选择性必修 第一册

物理 选择性必修 第二册

物理 选择性必修 第三册