数学逻辑

一、拆解整数（提取各位数字）

这是最基础的操作。核心口诀：取末位用 % 10，扔掉末位用 / 10。

1. 提取固定位数（比如三位数）

int n = 248;
int ge  = n % 10;          // 个位：8
int shi = n / 10 % 10;     // 十位：4
int bai = n / 100 % 10;    // 百位：2

2. 通用提取（利用 while 循环，适合任意位数）

int n = 12345;
while (n > 0) {
    int digit = n % 10;   // 拿到当前最低位
    cout << digit << " "; // 输出：5 4 3 2 1（倒序输出）
    n /= 10;              // 扔掉最低位
}

二、构造整数（正序与倒序）

这在之前的 248 题里你已经用过了，这是初学者最容易搞混的地方。核心口诀：倒序拼凑用乘法 * 10 +，正序拼凑用权重 * power。

1. 整数倒序（最常用）

int n = 12345, rev = 0;
while (n > 0) {
    rev = rev * 10 + n % 10; // 先出来的个位，不断被推到最高位
    n /= 10;
}
// rev 最终为 54321

2. 整数正序（配合权重）

int n = 12345, res = 0, power = 1;
while (n > 0) {
    res = res + (n % 10) * power; // 个位乘1，十位乘10...
    power *= 10;
    n /= 10;
}
// res 最终为 12345

3. 字符串拼接法（适合不做数学运算，只做展示）

string s = to_string(12345);
reverse(s.begin(), s.end()); // 需要包含 <algorithm> 头文件
int rev = stoi(s); // 转回整数

三、整数基本属性（位数、求和、回文）

基于前面的逻辑，衍生出的常见题型。

1. 求一个整数是几位数

int n = 12345, count = 0;
while (n > 0) {
    count++;
    n /= 10;
}
// count 为 5

2. 求各位数字之和

int n = 12345, sum = 0;
while (n > 0) {
    sum += n % 10; // 累加每一位
    n /= 10;
}
// sum 为 15

3. 判断回文数（正着读和倒着读一样）

int n = 12321, temp = n, rev = 0;
while (temp > 0) {
    rev = rev * 10 + temp % 10;
    temp /= 10;
}
if (rev == n) cout << "是回文数"; // 成立

四、基础数论（编程题常客）

1. 求最大公约数（辗转相除法 / 欧几里得算法）

int a = 24, b = 36;
while (b != 0) {
    int temp = b;
    b = a % b;
    a = temp;
}
// a 最终为 12（最大公约数）

2. 求最小公倍数

// 公式：a * b / 最大公约数
int lcm = 24 * 36 / 12; // 结果为 72

_注意：实际写代码时，建议先除后乘，防止溢出：a / gcd _ b。*

3. 判断质数（素数）

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) { // i * i 是核心优化
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

4. 冒泡排序

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int arr[] = {5, 2, 9, 1, 5, 6};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // 自动计算数组长度

    // 外层循环：控制比较的轮数，一共需要 n-1 轮
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {

        // 内层循环：控制每一轮的比较次数
        // 每过一轮，就会有一个最大的数被排到末尾，所以比较次数要减去 i
        for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++) {

            // 如果前一个数比后一个数大，就交换它们（升序）
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }

    // 输出排序后的结果
    cout << "排序后：";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

五、浮点数与取整（需要 <cmath> 头文件）

C++ 中整数除法 / 是直接截断（丢弃小数），比如 3 / 2 = 1。

函数	含义	示例
floor(x)	向下取整	floor(2.9) → 2.0
ceil(x)	向上取整	ceil(2.1) → 3.0
round(x)	四舍五入	round(2.5) → 3.0
(int)x	强制截断	(int)2.9 → 2
abs(x)	绝对值	abs(-5) → 5（整数）或 fabs(-5.5)（浮点数）

⚠️ 初学者大坑： 7 / 2 = 3（整数除法），但 7.0 / 2 = 3.5。 想要得到精确小数，至少要把其中一个操作数写成小数：7.0 / 2 或 (double)7 / 2。

六、通用进制转换（短除法）

这是你之前 248 题用到的核心逻辑。十进制转其他进制（如七进制、九进制、二进制），万能模板：

int n = 248;
int base = 7; // 目标进制
int res = 0, power = 1; // 如果转成数字
string s = "";          // 如果转成字符串展示

while (n > 0) {
    int digit = n % base; // 取余数
    res = res + digit * power; // 正序拼凑
    power *= 10;
    s = char(digit + '0') + s; // 字符串拼接（倒序插入）
    n /= base;
}

字符逻辑

// 字符串转大写（const 引用 + 返回值）

string toUpper(const string &s)
{
string result = s;
for (char &c : result)
{
if (c >= 'a' && c <= 'z')
{
c = c - 'a' + 'A';
}
}
return result;
}

// 反转字符串

string reverseString(const string &s)
{
string result;
for (int i = (int)s.size() - 1; i >= 0; i--)
{
result += s[i];
}
return result;
}

💡 给初学者的 3 个建议：

1. 优先用 while(n > 0) 循环处理整数，这比用 for 循环硬算位数灵活得多。
2. % 和 / 是黄金搭档，几乎所有整数拆解问题都靠它们。
3. 多画图、多手动模拟。遇到卡壳的逻辑，拿一张纸，把 n 和 res 的变化过程一行行写出来，瞬间就能看懂。

把这些模板吃透，以后遇到“水仙花数”、“回文数”、“进制转换”、“数位统计”这类题，你就能直接秒杀了。加油！